浙江省宁波市2023届高三下学期数学4月模拟（二模）试卷

试卷更新日期：2023-04-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | | x - 1 | < 3}$ ， $B = {x | 2^{x} < 8}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 2 ， 4)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(0 ， 3)$

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2. 设i为虚数单位，若复数z满足 $\frac{z}{i} = \frac{3 - i}{1 - i}$ ，则z的虚部为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 设随机变量 $ξ$ 服从正态分布， $ξ$ 的分布密度曲线如图所示，若 $P (ξ < 0) = p$ ，则 $P (0 < ξ < 1)$ 与 $D (ξ)$ 分别为（）

A、 $\frac{1}{2} - p ， \frac{1}{2}$ B、 $p ， \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} - p ， \frac{1}{4}$ D、 $p ， \frac{1}{4}$

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4. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | > | \vec{b} |$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | < | \vec{a} |$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | > | \vec{a} - \vec{b} |$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \geq 0$

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5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（）

A、 $\frac{5}{3}$ 寸 B、2寸 C、 $\frac{7}{3}$ 寸 D、3寸

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称，且 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上没有最小值，则 $ω$ 的值为（）

A、2 B、4 C、6 D、10

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7. 设椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (c ， 0)$ ，点 $A (3 c ， 0)$ 在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知函数 $f_{1} (x) = x^{3} - 3 x ， f_{n} (x) = | f_{n - 1} (x) | - 1 (n \geq 2)$ ，则 $f_{2023} (x)$ 的零点个数为（）

A、2023 B、2025 C、2027 D、2029

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二、多选题

9. 根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位： $° C$ ）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（）

A、5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关 B、9号的最高气温与最低气温的差值最大 C、最高气温的众数为 $27 ° C$ D、5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大

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10. 已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 及其导函数 $f^{^{'}} (x)$ 与 $g^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x)$ 是偶函数， $g (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称，则（）

A、 $g [f (- 1)] = g [f (1)]$ B、 $f [g (3)] = f [g (- 1)]$ C、 $f [g^{'} (3)] = f [g^{'} (- 1)]$ D、 $g [f^{'} (- 1)] = g [f^{'} (1)]$

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11. 已知 $S O ⊥$ 平面 $α$ 于点O，A，B是平面 $α$ 上的两个动点，且 $∠ O S A = \frac{π}{6} ， ∠ O S B = \frac{π}{4}$ ，则（）

A、SA与SB所成的角可能为 $\frac{π}{3}$ B、SA与OB所成的角可能为 $\frac{π}{6}$ C、SO与平面SAB所成的角可能为 $\frac{π}{6}$ D、平面SOB与平面SAB的夹角可能为 $\frac{π}{2}$

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12. 三支不同的曲线 $y = a_{i} \cdot | x - 1 | (a_{i} > 0 ， i = 1 ， 2 ， 3)$ 交抛物线 $y^{2} = 4 x$ 于点 $A_{i} ， B_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ ， $F$ 为抛物线的焦点，记 $△ A_{i} F B_{i}$ 的面积为 $S_{i}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{| F A_{i} |} + \frac{1}{| F B_{i} |} (i = 1 ， 2 ， 3)$ 为定值 B、 $A_{1} B_{1} / / A_{2} B_{2} / / A_{3} B_{3}$ C、若 $S_{1} + S_{2} = 2 S_{3}$ ，则 $a_{1} + a_{2} = 2 a_{3}$ D、若 $S_{1} S_{2} = S_{3}^{2}$ ，则 $a_{1} a_{2} = a_{3}^{2}$

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三、填空题

13. 若函数 $y = a^{x} (a > 1)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值与最小值的差为2，则 $a =$ ．

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14. 写出一个半径为1，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ 均外切的圆的方程．

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15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“1→4→2→1”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数 $m = 6$ ，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = m$ （m为正整数）， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ，当 a_{n} 为偶数， \\ 3 a_{n} + 1 ，当 a_{n} 为奇数 . \end{array}$ 若 $a_{6} = 2$ ，则m所有可能取值的集合为．

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16. 正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足 $\vec{B A} = 3 \vec{B P}$ ，记四面体ABCD的内切球为球 $O_{1}$ ，四面体PBCD的外接球为球 $O_{2}$ ，则 $| O_{1} O_{2} | =$ ．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a - b = b - c = 1$ ．

(1)、若 $a = 4$ ，求 $s i n A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的最大角为最小角的2倍，求a的值．

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18. 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有 $50 %$ 的可能性出现隐藏款X．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐．开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：

A款盲盒套餐
B款盲盒套餐
合计
年龄低于30岁
18
30
48
年龄不低于30岁
22
10
32
合计
40
40
80
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ，
P（ $K^{2} \geq k_{0}$ ）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
0.828

(1)、根据 $2 \times 2$ 列联表，判断是否有 $99 %$ 的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；

(2)、甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量 $ξ$ 为其中隐藏款X的个数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(3)、某消费者在开售首日与次日分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，求该隐藏款来自于B款盲盒套餐的概率．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD．

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面ABCD；

(2)、设 $P A = A D = 2 A B = 2$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求BC的长．

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n + 1} = S_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求首项 $a_{1}$ 的值及 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} \frac{a_{2^{n + 1}}}{a_{2} \cdot a_{2^{2}} \cdot a_{2^{3}} ⋯ a_{2^{n}}} (n \in N^{*})$ ，求满足 $a_{n} - b_{n} < 2023$ 的最大正整数n的值．

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21. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ ，点 $D (0 ， 2)$ 与双曲线上的点的距离的最小值为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线E的方程；

(2)、直线 $l ： y = k x + m$ 与圆 $C ： x^{2} + (y + 2)^{2} = 1$ 相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记 $△ D A B$ ， $△ O M N$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，当 $S_{1} - 4 S_{2} = \frac{8}{7}$ 时，求直线l的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - a x^{2}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性：

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $f (x) = 0$ 的两不等实根，求证：
（i） $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 2 e$ ；
（ii） $x_{1} x_{2} > \sqrt{\frac{e}{2 a}}$ ．

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	A款盲盒套餐	B款盲盒套餐	合计
年龄低于30岁	18	30	48
年龄不低于30岁	22	10	32
合计	40	40	80

P（ $K^{2} \geq k_{0}$ ）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	0.828