浙江省嘉兴市2023届高三下学期数学4月教学测试（二模）试卷

试卷更新日期：2023-04-25 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ l o g_{2} x < 1} ， B = {x ∣ x^{2} + x - 2 \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 2 \leq x \leq 1}$ C、 ${x ∣ 0 < x \leq 1}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 2}$

查看试题解析
2. $(x - 2 y + 3 z)^{6}$ 的展开式中 $x^{3} y^{2} z$ 的系数为（）

A、-60 B、240 C、-360 D、720

查看试题解析
3. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 2$ ，若 $a_{1} ， a_{3} ， a_{7}$ 成等比数列，则 $a_{2023} =$ （）

A、2023 B、2024 C、4046 D、4048

查看试题解析
4. 相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井 $S$ 时，亚历山大城某处 $A$ 的太阳光线与地面成角 $θ = 82 . 8^{∘}$ ，又知某商队旅行时测得 $A$ 与 $S$ 的距离即劣弧 $\overset{⌢}{A S}$ 的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（）

A、35000古希腊里 B、40000古希腊里 C、45000古希腊里 D、50000古希腊里

查看试题解析
5. 已知正九边形 $A_{1} A_{2} ⋯ A_{9}$ ，从 $\vec{A_{1} A_{2}} ， \vec{A_{2} A_{3}} ， \dots ， \vec{A_{9} A_{1}}$ 中任取两个向量，则它们的数量积是正数的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

查看试题解析
6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， P$ 为空间内一点且满足 $A P ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ，过 $A_{1} B$ 作与 $A P$ 平行的平面，与 $B_{1} C_{1}$ 交于点 $Q$ ，则 $C Q =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
7. 已知 $a = 1 . 1^{1.2} ， b = 1 . 2^{1.3} ， c = 1 . 3^{1.1}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

查看试题解析
8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (- x) = f^{'} (x) ， f (2 x) + f (2 - 2 x) = 3$ ，则下列结论不一定正确的是（）

A、 $f (1 - x) + f (1 + x) = 3$ B、 $f^{'} (2 - x) = f^{'} (2 + x)$ C、 $f^{'} (f (1 - x)) = f^{'} (f (1 + x))$ D、 $f (f^{'} (x + 2)) = f (f^{'} (x))$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，则（）

A、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω = 2$ B、若 $ω = 4$ ，则 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{8}]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、若 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $0 < ω \leq \frac{1}{3}$ D、若 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到的函数为偶函数，则 $ω$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$

查看试题解析
10. 已知一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n} (x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n})$ ，现有一组新的数据 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $\frac{x_{2} + x_{3}}{2} ， \dots ， \frac{x_{n - 1} + x_{n}}{2} ， \frac{x_{n} + x_{1}}{2}$ ，则与原样本数据相比，新的样本数据（）

A、平均数不变 B、中位数不变 C、极差变小 D、方差变小

查看试题解析
11. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 及一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ （非坐标原点），过点 $P$ 作直线与抛物线交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则（）

A、若 $y_{0} = 0$ ，则 $y_{1} y_{2} = - 2 p x_{0}$ B、若 $x_{0} = 0$ ，则 $\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = \frac{1}{y_{0}}$ C、 $(y_{0} - y_{1}) (y_{0} - y_{2}) = y_{0}^{2} - 2 p x_{0}$ D、 $| P A | \cdot | P B | = y_{0}^{2} - 2 p x_{0}$

查看试题解析
12. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $2 ， ∠ B A D = 6 0^{∘}$ ，将 $△ A B D$ 沿对角线 $B D$ 翻折，得到三棱锥 $P - B C D$ ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使得 $P C ⊥ B C$ B、直线 $B C$ 与平面 $P B D$ 所成角的最大值为 $6 0^{∘}$ C、当二面角 $P - B D - C$ 为 $12 0^{∘}$ 时，三棱锥 $P - B C D$ 的外接球的表面积为 $\frac{28 π}{3}$ D、当 $P C = 2$ 时，分别以 $P ， B ， C ， D$ 为球心，2为半径作球，这四个球的公共部分称为勒洛四面体，则该勒洛四面体的内切球的半径为 $2 - \frac{\sqrt{6}}{2}$

查看试题解析

三、填空题

13. 复数 $z$ 满足 $2 z + \bar{z} = 6 - i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z$ 的虚部为.

查看试题解析
14. 已知圆 $C_{1} ： (x - a)^{2} + y^{2} = 4$ 与 $C_{2} ： x^{2} + (y - b)^{2} = 1 (a ， b \in R)$ 交于 $A ， B$ 两点.若存在 $a$ ，使得 $| A B | = 2$ ，则 $b$ 的取值范围为.

查看试题解析
15. 已知直线 $l$ 与曲线 $C_{1} ： y = x^{2}$ 和 $C_{2} ： y = - \frac{1}{x}$ 均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.

查看试题解析
16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $e$ ，点 $P$ 在椭圆上，连接 $P F_{1}$ 并延长交 $C$ 于点 $Q$ ，连接 $Q F_{2}$ ，若存在点 $P$ 使 $| P Q | = | Q F_{2} |$ 成立，则 $e^{2}$ 的取值范围为.

查看试题解析

四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ .已知 $b + c = 2 a c o s B$ .

(1)、若 $B = \frac{π}{12}$ ，求 $A$ ；

(2)、求 $\frac{(b + c + a) (b + c - a)}{a c}$ 的取值范围.

查看试题解析
18. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为2，公差为3的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 4 ， b_{n + 1} = 3 b_{n} - 2 n + 1$ .

(1)、证明 ${b_{n} - n}$ 是等比数列，并求 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 中有公共项，即存在 $k ， m \in N^{*}$ ，使得 $a_{k} = b_{m}$ 成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作 ${c_{n}}$ ，求 $c_{1} + c_{2} + ⋯ + c_{n}$ .

查看试题解析
19. 如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中， $A C = 4 ， B C = 2 ， E F = 1 ， D E = \sqrt{5} ， A D = B E = C F$ .

(1)、求证：平面 $A B E D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若四面体 $B C D F$ 的体积为2，求二面角 $E - B D - F$ 的余弦值.

查看试题解析
20. 为了解 $J$ 市某疾病的发病情况与年龄的关系，从 $J$ 市疾控中心得到以下数据：
年龄段（岁）
$[20 ， 30)$
$[30 ， 40)$
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
发病率（‰）
0.09
0.18
0.30
0.40
0.53

(1)、若将每个区间的中点数据记为 $x_{i}$ ，对应的发病率记为 $y_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ ，根据这些数据可以建立发病率 $y$ （‰）关于年龄 $x$ （岁）的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，求 $\hat{a}$ ；
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 11125 ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 78.5$

(2)、医学研究表明，化验结果有可能出现差错.现有 $J$ 市某位居民，年龄在 $[50 ， 60) . A$ 表示事件“该居民化验结果呈阳性”， $B$ 表示事件“该居民患有某疾病”.已知 $P (A ∣ B) = 0.99$ ， $P (\bar{A} ∣ \bar{B}) = 0.999$ ，求 $P (B ∣ A)$ （结果精确到0.001）.

查看试题解析
21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0) ， P (3 ， - \sqrt{7})$ 是双曲线 $C$ 上一点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 作斜率大于0的直线 $l$ 与双曲线的右支交于 $A ， B$ 两点，若 $P F$ 平分 $∠ A P B$ ，求直线 $l$ 的方程.

查看试题解析
22. 已知 $f (x) = e^{x} ， g (x) = l n x$ .

(1)、若存在实数 $a$ ，使得不等式 $f (x) - g (x) \geq f (a) - g (a)$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求 $f (a) \cdot g (a)$ 的值；

(2)、若 $1 < x_{1} < x_{2}$ ，设 $k_{1} = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} ， k_{2} = \frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ，证明：
①存在 $x_{0} \in (x_{1} ， x_{2})$ ，使得 $\frac{k_{1}}{k_{2}} = x_{0} \cdot e^{x_{0}}$ 成立；
② $k_{1} - k_{2} < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} - \frac{1}{\sqrt{x_{1} x_{2}}}$ .

查看试题解析

年龄段（岁）	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$
发病率（‰）	0.09	0.18	0.30	0.40	0.53