浙江省杭州地区（含周边重点中学）2023届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2023-04-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2^{x} > 2}$ ， $B = {x | | x - 1 | < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{1 - 2 i}{2 + i}$ ，则 $| z |$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、1 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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3. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a}$

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4. 国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与 $21$ 世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行，有来自 $100$ 多个国家的 $4200$ 多位数学家参加了本次大会 $.$ 这次大会的“风车”会标取材于我国古代数学著作《勾股圆设方图》，该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为 $α (0^{∘} < α < 4 5^{∘})$ ，且大正方形与小正方形面积之比为 $25 ： 1$ ，则 $c o s α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{24}{25}$

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5. 四位爸爸 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则 $A$ 的小孩与 $D$ 交谈的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = c o s ω x - \sqrt{3} s i n ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有 $3$ 个零点和 $2$ 条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{6} ， \frac{4}{3})$ B、 $[\frac{13}{12} ， \frac{19}{12})$ C、 $[\frac{4}{3} ， \frac{19}{12})$ D、 $[\frac{13}{12} ， \frac{4}{3})$

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7. 若 $a = \sqrt{2} ， b = e^{\frac{1}{e}} ， c = π^{\frac{1}{π}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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8. 空间中四个点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $M$ 满足 $A B = B C = A C = 3$ ， $C M = 2 \sqrt{3}$ ，且直线 $C M$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，则三棱锥 $A - M B C$ 的外接球体积最大为（）

A、 $36 π$ B、 $48 π$ C、 $32 \sqrt{3} π$ D、 $48 \sqrt{3} π$

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二、多选题

9. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A = 2 A B$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $C C_{1} A A_{1}$ 的中点，则（）

A、 $D_{1} F / / B E$ B、直线 $B_{1} E$ 与直线 $B F$ 所成的角为 $90 °$ C、直线 $B_{1} E$ 与直线 $D_{1} F$ 所成的角为 $90 °$ D、直线 $D_{1} F$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$

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10. 下列说法正确的有（）

A、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则 $P (A) + P (B) = 1$ B、若 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ， $P (B | A) = P (B)$ ，则 $P (A | B) = P (A)$ C、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2 ， σ)$ ， $P (X \leq 3) = 0.6$ ，则 $P (X \leq 1) = 0.4$ D、这组数据 $4 ， 3 ， 2 ， 5 ， 6$ 的 $60 %$ 分位数为 $4$

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11. 设 $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1}) B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，过 $B$ 作与 $x$ 轴平行的直线，和过点 $F$ 且与 $A B$ 垂直的直线交于点 $N$ ， $A N$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，则（）

A、 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 为定值 B、当直线 $l$ 的斜率为 $1$ 时， $△ O A B$ 的面积为 $\sqrt{2} p ($ 其中 $O$ 为坐标原点 $)$ C、若 $Q$ 为 $C$ 的准线上任意一点，则直线 $Q A$ ， $Q F$ ， $Q B$ 的斜率成等差数列 D、点 $M$ 到直线 $F N$ 的距离为 $\frac{p}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = x l g x - x - l g x (x > 1)$ 的零点为 $x_{1}$ ，函数 $g (x) = x \cdot 1 0^{x} - x - 1 0^{x} (x > 1)$ 的零点为 $x_{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = x_{1} x_{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} > 11$ C、 $x_{1} - x_{2} < 1 0^{x_{2}} - l g x_{1}$ D、 $x_{1} - x_{2} > 9$

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三、填空题

13. 在 $(1 + x^{2}) (1 - \frac{2}{x})^{5}$ 的展开式中，常数项为．

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14. 已知点 $P (3 ， 4)$ ，直线 $l$ 与圆： $x^{2} + y^{2} = 25$ 交于 $A B$ 两点，若 $△ P A B$ 为等腰直角三角形，则直线 $l$ 的方程为 $. ($ 写出一条即可 $)$

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15. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若与椭圆 $C$ 无公共点的直线 $x = 3$ 上存在一点 $P$ ，使得 $t a n ∠ F_{1} P F_{2}$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ ，则椭圆离心率的取值范围是．

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16. 若点 $P_{n} (n ， a_{n}) (n \in N^{*})$ 在函数 $y = \sqrt{3 (x^{2} - 1)}$ 的图象上，则 $| P_{n} P_{n + 1} |$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 中角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $2 c s i n A c o s B + 2 b s i n A c o s C = \sqrt{3} a$ ， $c > a$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $b = 2$ ， $B C$ 边上中线 $A D = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 2 = 2 a_{n}$ ．

(1)、求 $a_{2}$ 及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使得这 $(n + 2)$ 个数依次组成公差为 $d$ 的等差数列，求数列 ${\frac{1}{d_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $D C = 3 A B = 3$ ， $A D = 3$ ， $A B / / C D$ ， $C D ⊥ A D$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为棱 $P C$ 上的点，且 $E C = 2 P E$ ．

(1)、求证： $B E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P D = 2$ ，二面角 $P - A D - C$ 为 $60 °$ ，求平面 $A P B$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值．

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20. 中国男篮历史上曾

12

次参加亚运会，其中

8

次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队

.

第

19

届亚运会将于

2023

年

9

月

23

日至

10

月

8

日在杭州举办．

参考公式： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + d) (a + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量．

参考数据：

$P (K^{2} \geq k)$	$0.10$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$k$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

(1)、为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各

100

名进行调查，得到

2 \times 2

列联表如下：

	喜爱篮球	不喜爱篮球合计
男生	$65$	$35$	$100$
女生	$25$	$75$	$100$
合计	$90$	$110$	$200$

依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？

(2)、校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第

1

次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到

.

记开始传球的人为第

1

次触球者，第

n

次触球者是甲的概率记为

P_{n}

，即

P_{1} = 1

．

（i）求 $P_{3}$ ， $P_{4}$ ，并证明： ${P_{n} - \frac{1}{3}}$ 为等比数列；

（ii）比较第 $15$ 次触球者是甲与第 $15$ 次触球者是乙的概率的大小．

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21. 已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，并且经过点 $(\sqrt{2} ， 2)$ ．

(1)、求双曲线 $E$ 的方程．

(2)、若直线 $l$ 经过点 $(2 ， 0)$ ，与双曲线右支交于 $P$ 、 $Q$ 两点 $($ 其中 $P$ 点在第一象限 $)$ ，点 $Q$ 关于原点的对称点为 $A$ ，点 $Q$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $B$ ，且直线 $A P$ 与 $B Q$ 交于点 $M$ ，直线 $A B$ 与 $P Q$ 交于点 $N$ ，证明：双曲线在点 $P$ 处的切线平分线段 $M N$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = k l n x + \frac{1}{e^{x}} (k \in R)$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 为增函数，求 $k$ 的取值范围；

(2)、已知 $0 < x_{1} < x_{2}$ .
（i）证明： $\frac{e}{e^{x_{2}}} - \frac{e}{e^{x_{1}}} > 1 - \frac{x_{2}}{x_{1}}$ ；
（ii）若 $\frac{x_{1}}{e^{x_{1}}} = \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}} = k$ ，证明： $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 1$ .

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