上海市长宁区2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-04-25 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {2 ， 4 ， 6 ， 8}$ ，则 $A \cap B =$ .

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2. 若“ $x = 1$ ”是“ $x > a$ ”的充分条件，则实数 $a$ 的取值范围为．

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3. 已知事件A与事件B相互独立，如果 $P (A) = 0.5$ ， $P (A \cap \bar{B}) = 0.4$ ，那么 $P (B) =$ ．

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4. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，底面周长为 $2 π$ ，则这个圆锥的体积为．

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5. 若函数 $y = l n (1 + x) - a l n (1 - x)$ 为奇函数，则实数a的值为．

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6. 设随机变量X服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 1) = 0.2$ ，则 $P (X < 3) =$ ．

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7. 某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要米栅栏．

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8. 若函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $f (x) + x g (x) = x^{2} - 1$ ，且 $f (1) = 1$ ，则 $f^{'} (1) + g^{'} (1) =$ .

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9. 若对任意 $x \in [1 ， 2]$ ，均有 $| x^{2} - a | + | x + a | = | x^{2} + x |$ ，则实数a的取值范围为．

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10. 已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $\vec{d}$ 满足： $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{b} - \vec{c} | = 2$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) / / (\vec{b} - \vec{c})$ ， $(\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{d}) = 0$ ，则 $| \vec{c} - \vec{d} |$ 的最大值为．

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11. 已知 $F_{1} 、 F_{2}$ 是双曲线 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，l是 $Γ$ 的一条渐近线，以 $F_{2}$ 为圆心的圆与l相切于点P，若双曲线 $Γ$ 的离心率为2，则 $s i n ∠ P F_{1} F_{2} =$ ．

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二、单选题

12. 在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（）

A、平均数 B、众数 C、百分位数 D、标准差

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13. 设复平面上表示 $2 - i$ 和 $3 + 4 i$ 的点分别为点A和点B，则表示向量 $\vec{A B}$ 的复数在复平面上所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点P在直线 $A D_{1}$ 上，Q为线段BD的中点．则下列说法不正确的是（）

A、存在点P，使得 $P Q ⊥ A_{1} C_{1}$ B、存在点P，使得 $P Q ∥ A_{1} B$ C、直线PQ始终与直线 $C C_{1}$ 异面 D、直线PQ始终与直线 $B C_{1}$ 异面

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15. 设各项均为实数的等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，对于方程① $2023 x^{2} - S_{2023} x + T_{2023} = 0$ ， ② $x^{2} - a_{1} x + b_{1} = 0$ ， ③ $x^{2} + a_{2023} x + b_{2023} = 0$ ．下列判断正确的是（）

A、若①有实根，②有实根，则③有实根 B、若①有实根，②无实根，则③有实根 C、若①无实根，②有实根，则③无实根 D、若①无实根，②无实根，则③无实根

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三、解答题

16. 盒子中有5个乒兵球，其中2个次品，3个正品．现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个．

(1)、记“第二次摸出的小球是正品”为事件B，求证： $P (B) = \frac{3}{5}$ ；

(2)、用X表示摸出的2个小球中次品的个数，求X的分布列和期望．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = A D$ ， $B C = 2 A B$ ， $E ， F$ 分别为棱 $B C ， B P$ 中点．

(1)、求证：平面 $A E F / /$ 平面 $D C P$ ；

(2)、若平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ，直线 $A P$ 与平面 $P B C$ 所成的角为 $4 5^{∘}$ ，且 $C P ⊥ P B$ ，求二面角 $P - A B - C$ 的大小．

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18. 某地新能源汽车保着量符合阻沛型增长模型 $x (t) = \frac{M}{1 + λ e^{- r t}}$ ，其中 $x (t)$ 为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、 $λ$ 和r为增长系数、M为饱和量．
下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
t
0
1
2
3
4
保有量 $x (t)$
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
假设该地新能源汽车饱和量 $M = 290$ 万辆．
附：线性回归方程 $y = \hat{a} x + \hat{b}$ 中回归系数计算公式如下： $\hat{a} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{b} = \bar{y} - \hat{a} \bar{x}$ .

(1)、若 $r = 0 ． 31$ ，假设2018年数据满足公式 $x (t) = \frac{M}{1 + λ e^{- r t}}$ ，计算 $λ$ 的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；

(2)、设 $y = \frac{M}{x (t)} - 1$ ，则 $l n y$ 与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定 $λ$ 和r的值（精确到0.01）．

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19. 已知抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，直线 $l^{'}$ 经过点 $F$ 且与 $Γ$ 交于点 $A$ 、 $B$ .

(1)、求以 $F$ 为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆的标准方程；

(2)、若 $| A B | = 5$ ，求线段 $A B$ 的中点到 $x$ 轴的距离；

(3)、设 $O$ 为坐标原点， $M$ 为 $Γ$ 上的动点，直线 $A M$ 、 $B M$ 分别与准线 $l$ 交于点 $C$ 、 $D$ .求证： $\vec{O C} \cdot \vec{O D}$ 为常数.

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20.

(1)、求简谐振动 $y = s i n x + c o s x$ 的振幅、周期和初相位 $φ (φ \in [0 ， 2 π))$ ；

(2)、若函数 $y = s i n \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} c o s x$ 在区间 $(0 ， m)$ 上有唯一的极大值点，求实数m的取值范围；

(3)、设 $a > 0$ ， $f (x) = s i n a x - a s i n x$ ，若函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上是严格增函数，求实数a的取值范围．

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年份	2018	2019	2020	2021	2022
t	0	1	2	3	4
保有量 $x (t)$	9.6	12.9	17.1	23.2	31.4