上海市松江区2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-04-25 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {x ∣ \frac{2}{x} > 1}$ ，则 $A ∩ B =$ ．

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2. 若复数z满足 $i \cdot z = 3 - 4 i$ ，则 $| \bar{z} | =$

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3. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 2 ， 0)$ ， $\vec{c} = (1 ， 1 ， λ)$ ，若 $\vec{c} ⊥ (2 \vec{a} + b)$ ，则 $λ =$ ．

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4. 已知随机变量X服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，若 $P (X < - 1.96) = 0.03$ ，则 $P (| X | < 1.96) =$ ．

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5. 已知 $\frac{π}{2} < θ < π$ ，且 $c o s θ = - \frac{4}{5}$ ，则 $t a n 2 θ =$ ．

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6. 在 ${(x - \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数为．（用数字作答）

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7. 将下图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为 $50 m m$ 的直立的圆柱形容器内，则液面高度为 $m m$ ．

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8. 现从 $4$ 名男医生和 $3$ 名女医生中抽取两人加入“援沪医疗队”，用 $A$ 表示事件“抽到的两名医生性别同”， $B$ 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则 $P (B | A) =$ .

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9. 参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为升．

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10. 若 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\frac{1}{s i n^{2} θ} + \frac{4}{c o s^{2} θ}$ 的最小值为

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11. 已知函数 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数；且 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) = \sqrt{- x}$ ，则 $f (2023) + f (\frac{2023}{2}) =$ ．

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12. 已知点 $A ， B$ 是平面直角坐标系中关于 $y$ 轴对称的两点，且 $| \vec{O A} | = 2 a (a > 0)$ ．若存在 $m ， n \in R$ ，使得 $m \vec{A B} + \vec{O A}$ 与 $n \vec{A B} + \vec{O B}$ 垂直，且 $| (m \vec{A B} + \vec{O A}) - (n \vec{A B} + \vec{O B}) | = a$ ，则 $| A B |$ 的最小值为．

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二、单选题

13. 已知直线 $l_{1} ： a x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + a y - 2 = 0$ ，则“ $l_{1} / / l_{2}$ ”是“ $a = 1$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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14. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程 $y = \hat{a} x + \hat{b}$ ，其中 $\hat{a} = 0.76$ ， $\hat{b} = \bar{y} - \hat{a} \bar{x}$ ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）

A、11.4万元 B、11.8万元 C、12.0万元 D、12.2万元

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15. 若方程 $f (x) \cdot g (x) = 0$ 的解集为M，则以下结论一定正确的是（）
（1） $M = {x ∣ f (x) = 0} ∪ {x ∣ g (x) = 0}$
（2） $M = {x ∣ f (x) = 0} ∩ {x ∣ g (x) = 0}$
（3） $M \subseteq {x ∣ f (x) = 0} ∪ {x ∣ g (x) = 0}$
（4） $M \supseteq {x ∣ f (x) = 0} ∩ {x ∣ g (x) = 0}$

A、（1）（4） B、（2）（4） C、（3）（4） D、（1）（3）（4）

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16. 已知函数 $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + a$ ， $a \in R$ ，在区间 $(t - 3 ， t + 5)$ 上有最大值，则实数t的取值范围是（）

A、 $- 6 < t < 0$ B、 $- 6 < t \leq 0$ C、 $- 6 < t < 2$ D、 $- 6 < t \leq 2$

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三、解答题

17. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且 $2 b s i n A = \sqrt{3} a$ ．

(1)、求角B；

(2)、求 $c o s A + c o s B + c o s C$ 的最大值．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点， $∠ A D C = 4 5^{∘}$ ， $A D = A C = 2$ ， $P O ⊥$ 平面ABCD， $P O = 2$ ， M是PD的中点．

(1)、证明： $P B / /$ 平面ACM

(2)、求直线AM与平面ABCD所成角的大小．

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19. 某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
车型
A
B
C
D
E
F
价格
9万元
12万元
18万元
24万元
30万元
40万元
占比
5%
15%
25%
35%
15%
5%

(1)、如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？

(2)、车企推出两种付款方式：
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的3%；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的 $\frac{1}{8}$ ．
①某位顾客现有a万元现金，欲购买价值a万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001）
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001）

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20. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，离心率为 $e_{1}$ ；双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{3} 、 F_{4}$ ，离心率为 $e_{2}$ ， $e_{1} \cdot e_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．过点 $F_{1}$ 作不垂直于y轴的直线l交曲线 $C_{1}$ 于点A、B，点M为线段AB的中点，直线OM交曲线 $C_{2}$ 于P、Q两点．

(1)、求 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的方程；

(2)、若 $\vec{A F_{1}} = 3 \vec{F_{1} B}$ ，求直线PQ的方程；

(3)、求四边形APBQ面积的最小值.

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21. 已知 $x > 0$ ，记 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x^{x}$ ， $h (x) = l n g (x)$ ．

(1)、试将 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ 、 $y = h (x)$ 中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；

(2)、借助（1）的结果，求函数 $y = g (2 x)$ 的导函数和最小值；

(3)、记 $H (x) = \frac{f (x) - h (x)}{x} + x + a$ ， a是实常数，函数 $y = H (x)$ 的导函数是 $y^{'} = H^{'} (x)$ ．已知函数 $y = H (x) \cdot H^{'} (x)$ 有三个不相同的零点 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3}$ ．求证： $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} < 1$ ．

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收入x（万元）	8.2	8.6	10.0	11.3	11.9
支出y（万元）	6.2	7.5	8.0	8.5	9.8

车型	A	B	C	D	E	F
价格	9万元	12万元	18万元	24万元	30万元	40万元
占比	5%	15%	25%	35%	15%	5%