上海市青浦区2023届高三二模数学试题

试卷更新日期：2023-04-25 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为．

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z i = 4 + 3 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ .

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} ， 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影是.

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4. 过点 $P (1 ， - 3)$ 与直线 $x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 垂直的直线方程为.

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5. 已知集合 $A = {x | y = l n (3 - x)} ， B = {x | x > a}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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6. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为 $16 π$ ，则球的表面积为．

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7. 已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，则不等式 $(a x + b) (b x + c) (c x + a) < 0$ 的解集是.

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8. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (2 + x) = - f (2 - x)$ ， $f (1) = 1$ ，则 $f (1) + f (2) + ⋯ + f (2023) =$ .

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9. 如图所示，要在两山顶 $M 、 N$ 间建一索道，需测量两山顶 $M 、 N$ 间的距离.已知两山的海拔高度分别是 $M C = 100 \sqrt{3}$ 米和 $N B = 50 \sqrt{2}$ 米，现选择海平面上一点 $A$ 为观测点，从 $A$ 点测得 $M$ 点的仰角 $∠ M A C = 60 °$ ，点 $N$ 的仰角 $∠ N A B = 30 °$ 以及 $∠ M A N = 45 °$ ，则 $M N$ 等于米.

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = a n^{2} + n$ ，若满足 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5} < a_{6}$ 且对任意 $n \in [9 ， + \infty)$ ，都有 $a_{n} > a_{n + 1}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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11. 如图，已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足 $F_{1} M / / F_{2} N$ ，且 $| F_{2} N | ： | F_{2} M | ： | F_{1} M | = 1 ： 2 ： 3$ ，则椭圆C的离心率为．

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12. 已知函数 $y = \sqrt{1 - x^{2}} (- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2})$ 的图像绕着原点按逆时针方向旋转 $θ (0 \leq θ \leq π)$ 弧度，若得到的图像仍是函数图象，则 $θ$ 可取值的集合为.

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二、单选题

13. 设 $\vec{e_{1}} 、 \vec{e_{2}}$ 是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{2}} + 2 \vec{e_{1}}$ C、 $3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ 和 $4 \vec{e_{2}} - 6 \vec{e_{1}}$ D、 $\vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{2}} + \vec{e_{1}}$

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14. 已知 $n$ 为正整数，则“ $n$ 是3的倍数”是“ ${(x^{4} - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的二项展开式中存在常数项”的（）条件.

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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15. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用（万元）

4

2

3

5

销售额（万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b}$ 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）

A、63.6万元 B、65.5万元 C、67.7万元 D、72.0万元

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} - a_{n} = {(- \frac{1}{2})}^{n}$ ，存在正偶数 $n$ 使得 $(a_{n} - λ) (a_{n + 1} + λ) > 0$ ，且对任意正奇数 $n$ 有 $(a_{n} - λ) (a_{n + 1} + λ) < 0$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是（）.

A、 $(- \frac{2}{3} ， 1]$ B、 $(- \infty ， - \frac{2}{3}] ∪ [1 ， + \infty)$ C、 $(- \frac{3}{4} ， \frac{2}{3})$ D、 $(- \frac{3}{4} ， - \frac{2}{3}]$

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (x + \frac{π}{6}) c o s (x + \frac{π}{6}) + c o s^{2} (x - \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴方程

(2)、求 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的值域.

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是等腰直角三角， $A C = B C = A A_{1} = 2$ ， $D$ 为侧棱 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - C D - C_{1}$ 的正弦值.

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19. 在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位： $h$ )的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.

(1)、求频率分布直方图中实数 $a ， b$ 的值；

(2)、每天学习时间在 $[6.0 ， 6.5)$ 的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电舌访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；

(3)、依据所抽取的样本，从每天学习时间在 $[6.0 ， 6.5)$ 和 $[7.0 ， 7.5)$ 的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在 $[6.0 ， 6.5)$ 的人数 $X$ 分布和数学期望.

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20. 如图，已知 $A 、 B 、 C$ 是抛物线 $Γ_{1} ： x^{2} = y$ 上的三个点，且直线 $C A 、 C B$ 分别与抛物线 $Γ_{2} ： y^{2} = 4 x$ 相切， $F$ 为抛物线 $Γ_{1}$ 的焦点．

(1)、若点 $C$ 的横坐标为 $x_{3}$ ，用 $x_{3}$ 表示线段 $C F$ 的长；

(2)、若 $C A ⊥ C B$ ，求点 $C$ 的坐标；

(3)、证明：直线 $A B$ 与抛物线 $Γ_{2}$ 相切．

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21. 设 $y = f (x) 、 y = g (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数，当 $g (x_{1}) \neq g (x_{2})$ 时， $δ (x_{1} ， x_{2}) = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{g (x_{1}) - g (x_{2})}$ .

(1)、已知 $y = g (x)$ 在区间 $I$ 上严格增，且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in I ， x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $δ (x_{1} ， x_{2}) > 0$ ，证明：函数 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上是严格增函数；

(2)、已知 $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - 3 x$ ，且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，当 $g (x_{1}) \neq g (x_{2})$ 时，有 $δ (x_{1} ， x_{2}) > 0$ ，若当 $x = 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 取得极值，求实数 $a$ 的值；

(3)、已知 $g (x) = s i n x ， f (\frac{π}{2}) = 1 ， f (- \frac{π}{2}) = - 1$ ，且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，当 $g (x_{1}) \neq g (x_{2})$ 时，有 $| δ (x_{1} ， x_{2}) | \leq 1$ ，证明： $f (x) = s i n x$ .

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广告费用（万元）	4	2	3	5
销售额（万元）	49	26	39	54