上海市普陀区2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-04-25 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 设全集 $U = R$ ，若集合 $A = {x | | x | \geq 1 ， x \in R}$ ，则 $\bar{A} =$ ．

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2. 函数 $f (x) = c o s^{2} x - s i n^{2} x$ 的最小正周期为．

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3. 现有一组数1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，则该组数的第25百分位数为．

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4. 设 $3 i$ （i为虚数单位）是关于x的方程 $x^{2} + m = 0 (m \in R)$ 的根，则 $m =$ ．

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5. 函数 $y = \sqrt{3 - \frac{1}{x}}$ 的定义域为．

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6. 若 $π < θ < \frac{3 π}{2}$ 且 $s i n θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $t a n (θ - \frac{π}{4}) =$ ．

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7. 现有一个底面半径为 $2 c m$ 、高为 $9 c m$ 的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为 $c m^{2}$ （损耗忽略不计）．

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8. 设 $△ A B C$ 的三边a，b，c满足 $a ： b ： c = 7 ： 5 ： 3$ ，且 $S_{△ A B C} = 15 \sqrt{3}$ ，则此三角形最长的边长为．

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9. “民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位 $k w \cdot h$ ）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：
气温x
18
13
10
$- 1$
用电量y
24
34
38
64
若上表中的数据可用回归方程 $y = - 2 x + b (b \in R)$ 来预测，则当气温为 $- 4 ℃$ 时该小区相应的用电量约为 $k w \cdot h$ ．

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10. 设 $F_{1} 、 F_{2}$ 为双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 0)$ 左、右焦点，且 $Γ$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，若点M在 $Γ$ 的右支上，直线 $F_{1} M$ 与 $Γ$ 的左支相交于点N，且 $| M F_{2} | = | M N |$ ，则 $| F_{1} N | =$ ．

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11. 设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若在平面直角坐标系xOy中，函数 $y = l o g_{a} (a x + 2)$ 与 $y = l o g_{a} \frac{1}{2 x + a}$ 的图像于直线l对称，则l与这两个函数图象的公共点的坐标为．

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12. 设x、 $y ∈ R$ ，若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， y)$ ， $\vec{c} = (1 ， 1)$ ，且向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 互相平行，则 $| \vec{a} | + 2 | \vec{b} |$ 的最小值为．

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二、单选题

13. 设 $a ， b$ 为实数，则“ $a > b > 0$ ”的一个充分非必要条件是（）

A、 $\sqrt{a - 1} > \sqrt{b - 1}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$ D、 $a - b > b - a$

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14. 设a，b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：
（1）若 $a ∥ b$ 且 $b \subset α$ ，则 $a ∥ α$
（2）若 $a ∥ α$ 且 $b \subset α$ ，则 $a ∥ b$
（3）若 $a ∥ b$ 且 $a ∥ α$ ，则 $b ∥ α$
（4）若 $a ∥ α$ 且 $b ∥ α$ ，则 $a ∥ b$
其中不正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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15. 设P为曲线C： $y^{2} = 4 x$ 上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集 $A = {M | | M P | = d}$ 和 $B = {(x ， y) | (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = r^{2}}$ ，给出如下结论：
①任意 $r \in (0 ， + \infty)$ ， $A \cap B$ 中总有2个元素；②存在 $r \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $A \cap B = \emptyset$ ．
其中正确的是（）

A、①成立，②成立 B、①不成立，②成立 C、①成立，②不成立 D、①不成立，②不成立

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16. 设 $ω > 0$ ，若在区间 $[π ， 2 π)$ 上存在a，b且 $a < b$ ，使得 $s i n (ω a) + c o s (ω b) = 2$ ，则下列所给的值中 $ω$ 只可能是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{10}{3}$

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三、解答题

17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ， $A B = 5$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、设 $A C_{1}$ 与底面ABC所成角的大小为 $60 °$ ，求三梭雉 $C - A B C_{1}$ 的体积．

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18. 已知 $a > b$ 均为不是1的正实数，设函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = a \cdot b^{x} (x \in R)$ ．

(1)、设 $a > b$ 且 $f (x) \leq b \cdot a^{x}$ ，求x的取值范围；

(2)、设 $a = \frac{1}{16}$ ， $b = 4$ ，记 $a_{n} = l o g_{2} f (n)$ ， $b_{n} = f (n)$ ，现将数列 ${a_{n}}$ 中剔除 ${b_{n}}$ 的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为 ${c_{n}}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{100} c_{i}$ 的值．

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19. 现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．

(1)、求取到的白球数不少于2个的概率；

(2)、设X为所取到的白球数，求取到的白球数的期望．

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20. 在xOy平面上．设椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1 (m > 1)$ ，梯形 $A B C D$ 的四个顶点均在 $Γ$ 上，且 $A B / / C D$ ．设直线 $A B$ 的方程为 $y = k x (k \in R)$

(1)、若 $A B$ 为 $Γ$ 的长轴，梯形 $A B C D$ 的高为 $\frac{1}{2}$ ，且 $C$ 在 $A B$ 上的射影为 $Γ$ 的焦点，求 $m$ 的值；

(2)、设 $m = \sqrt{2}$ ，直线 $C D$ 经过点 $P (0 ， 2)$ ，求 $\vec{O C} \cdot \vec{O D}$ 的取值范围；

(3)、设 $m = \sqrt{2}$ ， $| A B | = 2 | C D |$ ， $A D$ 与 $B C$ 的延长线相交于点 $M$ ，当 $k$ 变化时， $△ M A B$ 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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21. 已知 $a ， b \in R$ ，设函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = a \cdot x^{2} - b \cdot l n x$ （其中 $x > 0$ ）

(1)、设 $a = 1$ ， $b = 0$ ，当 $f (x) > x^{- 1}$ 时，求x的取值范围；

(2)、设 $a = 2$ ， $b > 4$ ，集合 $D = (0 ， 1]$ ，记 $g (x) = 2 c x - \frac{1}{x^{2}} (c \in R)$ ，若 $y = g (x)$ 在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有 $f (s) \geq g (t)$ 成立，求c的取值范围；

(3)、当 $a = 0$ ， $b < 0$ ， $x > 1$ 时，记 $h_{n} (x) = [f (x)]^{n} + \frac{1}{[f (x)]^{n}}$ ，其中n为正整数．求证： ${[h_{1} (x)]}^{n} + 2 \geq h_{n} (x) + 2^{n}$ ．

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气温x	18	13	10	$- 1$
用电量y	24	34	38	64