福建省福州市晋安区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-04-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列二次根式，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{0.2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{4}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ B、 $\sqrt{9} + \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{9} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3^{2}} = 3$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对应边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列条件不能说明 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $a ： b ： c = 3 ： 4 ： 5$ B、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$ C、 $∠ A = ∠ B + ∠ C$ D、 $a^{2} = (b + c) (b - c)$

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4. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ， $A C = 5 c m$ ， $B D = 10 c m$ ，则菱形的面积为（）

A、 $5 c m^{2}$ B、 $10 c m^{2}$ C、 $25 c m^{2}$ D、 $50 c m^{2}$

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5. 在下列条件中，能够判定 $▱ A B C D$ 为矩形的是（）

A、 $A B = A C$ B、 $A C ⊥ B D$ C、 $A B = A D$ D、 $A C = B D$

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6. 下列逆命题成立的是（）

A、两条直线平行，内错角相等 B、全等三角形的对应角相等 C、如果 $a = b$ ，那么 $a^{2} = b^{2}$ D、如果 $a = b$ ，那么 $| a | = | b |$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 边上的中点，连接 $E F$ ，如果 $A C = 6 c m$ ，那么 $E F$ 的长是（）

A、 $3 c m$ B、 $4 c m$ C、 $5 c m$ D、 $6 c m$

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8. 如图，菱形 $A B C D$ 的顶点 $C$ 在直线 $M N$ 上，若 $∠ B C M = 45 °$ ， $∠ D C N = 25 °$ ，则 $∠ B D C$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $40 °$

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9. 已知在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的三个顶点的坐标为 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (- 1 ， - 1)$ ， $C (3 ， - 1)$ ，则第四个顶点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， 2)$ B、 $(3 ， 2)$ C、（ $3 ， 3)$ D、 $(2 ， 3)$

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10. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $O$ 为 $A C$ 的中点，点 $E$ ， $M$ 为平行四边形 $A B C D$ 同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合）， $E O$ ， $M O$ 的延长线分别与平行四边形 $A B C D$ 的另一边交于点 $F$ ， $N$ .下面四个判断：
①四边形 $A B F M$ 是平行四边形；
②四边形 $E N F M$ 是平行四边形；
③若平行四边形 $A B C D$ 是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形ENFM是正方形；
④对于任意的平行四边形 $A B C D$ ，存在无数个四边形 $E N F M$ 是矩形.
其中，正确的个数有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

11. 二次根式 $\sqrt{x + 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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12. 在 Rt △ABC中， ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 $C D =$ .

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13. 如图，在正方形 $A B C D$ 外作等边 $△ A D E$ ，则 $∠ B E D =$ $°$ .

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14. 如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝.

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15. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，若 $P$ 为对角线 $B D$ 上一动点，则 $E P + A P$ 的最小值为.

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， ∠ A B C + ∠ D C B = 9 0^{∘}$ ，且 $B C = 2 A D$ ，以 $A B$ 、 $B C$ 、 $D C$ 为边向外作正方形，其面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，若 $S_{1} = 3 ， S_{3} = 9$ ，则 $S_{2}$ 的值为.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $(2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{8}) \div \sqrt{2}$ ；

(2)、 $(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}) - {(1 - \sqrt{3})}^{2}$ .

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18. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ .

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E、F是对角线 $A C$ 上的两点，且 $A E = C F$ . 求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形.

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5 ， A C = 12 ， B C = 13$ ， $A M$ 为 $△ A B C$ 的高，求 $A M$ 的长.

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21. 求证：四个角都相等的四边形是矩形.（根据题意画出图形，并写出已知、求证和证明过程）

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22. 如图，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形.

(1)、尺规作图：按下列要求完成作图；（保留作图痕迹，请标注字母）
①连接 $B D$ ；
②作 $B D$ 的垂直平分线 $E F$ 交 $A B$ ， $C D$ 于 $E$ ， $F$ ；
③连接 $D E$ ， $B F$ ；

(2)、判断四边形 $D E B F$ 的形状，并说明理由.

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23. 在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作 $60 °$ ， $30 °$ ， $15 °$ 的角，可以采用如下的方法：
【操作感知】

第一步：对折矩形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展开.

第二步；再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $E F$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $B M$ ，同时得到线段 $B N$ （如图1）.

(1)、【猜想论证】
写出图1中一个 $30 °$ 的角：.

(2)、若延长 $M N$ 交 $B C$ 于点 $P$ ，如图 $2$ 所示，试判断 $△ B M P$ 的形状，并证明.

(3)、【迁移探究】
小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片 $A B C D$ 按照 $“$ 操作感知 $”$ 的方式操作，并延长 $M N$ 交 $C D$ 于点 $Q$ ，连接 $B Q$ .当点 $N$ 在 $E F$ 上时， $D M = 2$ ，求正方形的边长.

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24. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值，他是这样解答的：
∵ $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
∴ ${(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ，
∴ $a^{2} - 4 a = - 1$ .
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ .
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ $=$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $a^{4} - 4 a^{3} - 4 a + 3$ 的值.

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25. 已知：菱形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ， $∠ A B C = 60 °$ .把一个含 $60 °$ 的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角形 $60 °$ 的顶点与点 $A$ 重合，三角尺的两边与菱形的两边 $B C$ ， $C D$ 分别相交于点 $E$ ， $F$ （点 $E$ ， $F$ 不与端点重合）.

(1)、如图1，求证： $B E = C F$ ；

(2)、如图2，连接 $E F$ ，求 $△ E C F$ 面积的最大值；

(3)、如图3，连接 $B D$ ，与 $A E$ ， $A F$ 相交于点 $M$ ， $N$ .若以线段 $B M$ ， $M N$ ， $N D$ 为边组成的三角形是直角三角形，求 $B M$ 的值.

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