四川省成都市高新区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. －5的倒数是

A、 $\frac{1}{5}$ B、5 C、 $- \frac{1}{5}$ D、－5

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2. 2023年春节期间，我省文化和旅游经济呈现“总体回暖，强势复苏”的可喜局面，其中体现巴蜀文化风韵的 $2023$ 川渝春晚网络话题反响热烈，累计阅读量超过 $4$ 亿人次．将数据 $4$ 亿用科学记数法表示为（）

A、 $40 \times 1 0^{7}$ B、 $4 \times 1 0^{8}$ C、 $0.4 \times 1 0^{9}$ D、 $4 \times 1 0^{9}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $3 a b - 3 a = b$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $2 a^{2} b \div a = 2 b$ D、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 4$

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4. 已知直线 $m ∥ n$ ，将含有 $30 °$ 的直角三角尺 $A B C$ 按如图方式放置（ $∠ C A B = 30 °$ ），其中A，C两点分别落在直线m，n上，若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $40 °$

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5. 若 $△ A B C ∽ △ D E F$ ，且 $\frac{A B}{D E} = \frac{1}{3}$ ，若 $△ A B C$ 的周长为 $2$ ，则 $△ D E F$ 的周长为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $6$ D、 $18$

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6. 校运会100米项目预赛，15名运动员的成绩各不相同，取前8名参加决赛，其中运动员小米已经知道自己的成绩，他想确定自己是否进入决赛，只需要知道这15名运动员成绩的（）

A、平均数 B、中位数 C、极差 D、方差

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7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到 $900$ 里远的城市，所需时间比规定时间多 $1$ 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 $3$ 天．已知快马的速度是慢马的 $2$ 倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（）

A、 $2 \times \frac{900}{x - 1} = \frac{900}{x + 3}$ B、 $2 \times \frac{900}{x + 1} = \frac{900}{x - 3}$ C、 $\frac{900}{x - 1} = 2 \times \frac{900}{x + 3}$ D、 $\frac{900}{x + 1} = 2 \times \frac{900}{x - 3}$

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8. 关于二次函数 $y = x^{2} + 4 x + 5$ ，下列说法正确的是（）

A、图象的对称轴在y轴右侧 B、y的最小值为5 C、图象与x轴有两个交点 D、当 $x > 2$ 时，y的值随x的值的增大而增大

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二、填空题

9. 化简分式 $\frac{x^{2}}{x - 2} - \frac{4}{x - 2}$ 的结果为．

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10. 已知直线 $y = - 2 x + 1$ 过点 $(1 ， a)$ 和 $(2 ， b)$ ，则ab（填“>”、“<”或“=”）．

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11. 如图，已知每一个小正方形的边长为1，则△ABC的面积为．

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12. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是.

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13. 如图， $▱ A B C D$ 的周长为 $16$ ，连接 $A C$ ，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线 $M N$ ，交边 $A D$ 于点E，连接 $C E$ ，则 $△ C D E$ 的周长为．

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三、解答题

14.

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} - 2 c o s 30 ° + \sqrt{27} + {(3 - π)}^{0}$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 4 (x + 1) \leq 7 x + 10 ① \\ x - 5 < \frac{x - 8}{3} ② \end{array}$

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15. 幸福成都，美在文明！为助力成都争全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：A．宣传单宣传，B．电子屏宣传，C．黑板报宣传，D．志愿者宣传．每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的学生共有人，请补全条形统计图；

(2)、扇形统计图中，“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为；

(3)、本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率

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16. 成都新世纪环球中心被誉为亚洲第一大单体建筑，可容纳20个悉尼歌剧院，3个五角大楼．某校开展综合实践活动，测量环球中心主体顶端A离地面的高度 $A B$ 的长，如图，在观测点C处测得建筑物顶端A的仰角为 $30 °$ ，在观测点C测得建筑物底部B的俯角为 $14 °$ ，观测点C与建筑物的水平距离 $C D$ 为120米，且 $A B$ 垂直于 $C D$ （点A，B，C，D在同一平面内）．求环球中心主体顶端A离地面的高度 $A B$ 的长．（结果精确到1米；参考数据： $s i n 14 ° \approx 0.24$ ， $c o s 14 ° \approx 0.97$ ， $t a n 14 ° \approx 0.25$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 交于点D，与边 $A C$ 交于点E，过点D作 $A C$ 的垂线，垂足为F．

(1)、求证： $D F$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A E = 3$ ， $E F = 1$ ，求 $⊙ O$ 的半径及 $s i n ∠ A B C$ 的值．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - x + 6$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (1 ， a)$ 和点B．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、如图1，若点C为线段 $A B$ 上一点，过点C作 $C D ∥ x$ 轴交双曲线于点D，连接 $O C ， O D$ ，若 $△ O C D$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，求点C的坐标；

(3)、如图2，连接 $A O$ ，并延长 $A O$ 至点E，使 $E O = A O$ ，作 $∠ O A B$ 的平分线 $A F$ 交x轴于点F，过点E作 $E H ⊥ A F$ 于点H，求点H的坐标．

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四、填空题

19. 若 $a + b = 3$ ，则 $a^{2} - b^{2} + 6 b$ 的值为.

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20. 若关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 1} = \frac{a}{x - 1} - 2$ 的解为非负数，则a的取值范围是．

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 为弦， $∠ B A C = 30 °$ ， D为直径 $A B$ 上一点，且 $A D = A C$ ，连接 $C D$ 并延长交 $⊙ O$ 于点E，现假设可以随意在圆中取点，则这个点取在阴影部分的概率是．

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22. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 2$ 与x轴交于 $A ， B$ 两点，抛物线上点C的横坐标为 $5$ ， D点坐标为 $(3 ， 0)$ ，连接 $A C ， C D$ ，点M为平面内任意一点，将 $△ A C D$ 绕点M旋转 $180 °$ 得到对应的 $△ A^{'} C^{'} D^{'}$ （点 $A ， C ， D$ 的对应点分别为 $A^{'}$ ， $C^{'}$ ， $D^{'}$ ），若 $△ A^{'} C^{'} D^{'}$ 中恰有两个点落在抛物线上，则此时点 $C^{'}$ 的坐标为（点 $C^{'}$ 不与点A重合）

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23. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点P为边 $C D$ 上一动点，连接 $A P$ 交对角线 $B D$ 于点E，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A P$ ， $E F$ 交 $B C$ 于点F，连接 $A F$ 交 $B D$ 于点G，在点P的运动过程中， $△ A E G$ 面积的最小值为．

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五、解答题

24. 某文具店经销甲、乙两种笔记本，每次购买同一种笔记本的单价相同，购进笔记本的具体信息如下表：
进货批次
甲种笔记本数量（单位：本）
乙种笔记本数量（单位：本）
购买总费用（单位：元）
第一次
$15$
$20$
$640$
第二次
$30$
$25$
$980$

(1)、求甲、乙两种笔记本的购买单价；

(2)、若第三次计划用不超过 $920$ 元购买甲、乙两种笔记本共 $50$ 本，求至少购买甲种笔记本多少本？

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $L ： y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a > 0)$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线 $y = a x + 1$ 与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．

(1)、如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；

(2)、在（1）的条件下，连接 $B D$ ，点E在抛物线上，若 $∠ D A E = ∠ A D B$ ，求出点E的坐标；

(3)、将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线 $L_{1}$ ，抛物线 $L_{1}$ 的顶点为P，直线 $y = a x + 1$ 与抛物线 $L_{1}$ 交于M，N两点，连接 $M P ， N P$ ，若 $∠ M P N = 90 °$ ，求a的值．

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26. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，点M为边 $A D$ 上一点，连接 $C M$ ．

(1)、将 $△ C D M$ 沿直线 $C M$ 翻折，得到对应的 $△ C D^{'} M$ ．
i）如图1，延长 $C D^{'}$ 交边 $A D$ 于点E，若点E恰为边 $A D$ 中点，求线段 $M D$ 的长；
ii）如图2，连接 $B D^{'}$ ，若 $B D^{'} = B C$ ，求线段 $M D$ 的长；

(2)、如图3，若 $D M = D C$ ，点P为边 $B C$ 上一动点（点P不与B，C两点重合），过点P作 $P F ⊥ P A$ 交线段 $C M$ 于点F，在点P的运动过程中，线段 $C F$ 的长是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

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进货批次	甲种笔记本数量（单位：本）	乙种笔记本数量（单位：本）	购买总费用（单位：元）
第一次	$15$	$20$	$640$
第二次	$30$	$25$	$980$