广西壮族自治区贵港市港北区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如果将“收入50元”记作“ $+ 50$ 元”，那么“支出30元”记作（）

A、 $- 20$ 元 B、 $+ 20$ 元 C、 $+ 30$ 元 D、 $- 30$ 元

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2. 所示的几何体是由 $4$ 个相同的小正方体搭成的，从正面看，所看到的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到 $28 n m$ .已知 $1 n m = 1 0^{- 9} m$ ，则 $28 n m$ 用科学记数法表示是（）

A、 $28 \times 1 0^{- 9} m$ B、 $2.8 \times 1 0^{- 9} m$ C、 $2.8 \times 1 0^{- 8} m$ D、 $2.8 \times 1 0^{- 10} m$

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4. 以下调查中，最适合采用抽样调查的是（）

A、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 B、了解全班50名同学每天体育锻炼的时间 C、学校招聘教师，对应聘人员进行面试 D、为保证飞机正常飞行，对其零部件进行检查

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5. 下列运算，正确的是（）

A、a+2a＝3a² B、a²•a³＝a⁶ C、a³+a⁴＝a¹² D、（-3a）²＝9a²

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6. 下列对一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的根的情况判断中正确的是（　　　）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、不确定

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7. 如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在 $\overset{⌢}{B A C}$ 上，则∠BAC的度数为（）

A、55° B、65° C、75° D、130°

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8. 某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等。某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做成这把遮阳伞需要布料的面积是（）平方米（接缝不计）.

A、 $\frac{25}{4}$ π B、5π C、4π D、3π

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10. 在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（）

A、x²=10²+（x-5-1）² B、x²＝（x﹣5）²+10² C、x²＝10²+（x+1-5）² D、x²＝（x+1）²+10²

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11. 如图，点 $A (m ， 1)$ 和 $B (- 2 ， n)$ 都在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接 $O A$ 、 $O B 、 A B$ ，若四边形 $O M A N$ 的面积记作 $S_{1}$ ， $△ O B A$ 面积记作 $S_{2}$ ，则（）

A、 $S_{1} ： S_{2} = 2 ： 1$ B、 $S_{1} ： S_{2} = 1 ： 2$ C、 $S_{1} ： S_{2} = 4 ： 3$ D、 $S_{1} ： S_{2} = 4 ： 5$

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二、填空题

12. 若分式 $\frac{x + 1}{2 - x}$ 有意义，则x的取值范围是.

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13. 因式分解： $4 a - a b^{2} =$ .

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14. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中 $∠ 1$ 是 $70 °$ ，那么 $∠ 2$ 的度数是．

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15. 随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： ${\bar{x}}_{甲} = 13$ ， ${\bar{x}}_{乙} = 13$ ， $S_{甲}^{2} = 7.5$ ， $S_{乙}^{2} = 21.6$ ，则小麦长势比较整齐的试验田是.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点A和B的坐标分别为（2，0），（0，-4），若将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为

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17. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， ∠ B A D = 60 °$ ，将菱形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转，对应得到菱形 $A E F G$ ，点 $E$ 在 $A C$ 上， $E F$ 与 $C D$ 交于点 $P$ ，则 $D P$ 的长是．

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三、解答题

18. 解方程： $x^{2} - 6 x + 8 = 0$

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19. 计算： $6 \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) - (- 2)^{2} \div \frac{1}{4}$ .

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20. 如图，在边长为 $1$ 个单位长度的小正方形网格中，
( 1 )画出 $△ A B C$ 向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
( 2 )以点B为位似中心，将 $△ A B C$ 放大为原来的2倍，得到 $△ A_{2} B C_{2}$ ，请在网格中画出 $△ A_{2} B C_{2}$ ；
( 3 )直接写出 $△ C C_{1} C_{2}$ 的面积，及 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的坐标．

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21. 2020年2月12日，教育部按照党中央关于防控新冠肺炎疫情的决策部署，对中小学延期开学期间“停课不停学”工作做出要求.某中学决定优化网络教学团队，整合初三年级为两个平行班（前进班和奋斗班）的学生提供线上授课，帮助毕业年级学生居家学习.经过一周时间的线上教学，学校通过线上测试了解网络教学的效果，从两个平行班中各随机抽取10名学生的成绩进行如下整理、分析（单位：分，满分100分）：
收集数据：
前进班：94，85，73，85，52，97，94，66，95，85
奋斗班：92，84，87，82，82，51，84，83，97，84
整理数据：
x（分）人数班级
$x < 60$
$60 \leq x < 70$
$70 \leq x < 80$
$80 \leq x < 90$
$90 \leq x \leq 100$
前进班
1
1
a
3
b
奋斗班
1
0
0
7
2
分析数据：

平均数
众数
中位数
方差
前进班
82.6
85
c
194.24
奋斗班
82.6
d
84
132.04
根据以上信息回答下列问题：

(1)、请直接写出表格中a，b，c，d的值；

(2)、已知小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，请问他是哪个班的学生？

(3)、请你根据数据分析评价一下两个班的学习效果，说明理由.

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22. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AM∥BD，交CB的延长线于点M.

(1)、求证：△ADE≌△CBF；

(2)、若四边形是BEDF菱形，AD=3，∠ABD=30°，求四边形AMBD的面积.

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23. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：

(1)、A型自行车去年每辆售价多少元；

(2)、该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．

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24. 如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．

(1)、求证：PB是⊙O的切线；

(2)、若∠APC=3∠BPC，求 $\frac{P E}{C E}$ 的值．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a c \neq 0)$ 与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.若线段 $O A 、 O B 、 O C$ 的长满足 $O C^{2} = O A \cdot O B$ ，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C.且 $O A = 4 O B$

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若P为 $A C$ 上方抛物线上的动点，过点P作 $P D ⊥ A C$ ，垂足为D.
①求 $P D$ 的最大值；

②连接 $P C$ ，当 $△ P C D$ 与 $△ A C O$ 相似时，求点P的坐标.

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x（分）人数班级	$x < 60$	$60 \leq x < 70$	$70 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x \leq 100$
前进班	1	1	a	3	b
奋斗班	1	0	0	7	2

	平均数	众数	中位数	方差
前进班	82.6	85	c	194.24
奋斗班	82.6	d	84	132.04