内蒙古呼和浩特2023年九年级中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列图标中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（）

A、-3 B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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3. 用代入法解一元二次方程 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 5 ① \\ 3 x + 4 y = 7 ② \end{array}$ 过程中，下列变形错误的是（）

A、由①得 $x = \frac{5 - y}{2}$ B、由①得 $y = 5 - 2 x$ C、由②得 $x = \frac{7 + 4 y}{3}$ D、由②得 $y = \frac{7 - 3 x}{4}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{4} + \sqrt{9} = \sqrt{13}$ B、 $5 y^{3} \cdot 3 y^{5} = 15 y^{15}$ C、 $\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $3 x^{2} y + 2 x y^{2} = 5 x^{2} y^{2}$

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5. 如图是某企业2020年5~10月份月利润变化情况的折线统计图，下列说法与图中反映的信息相符的是（）

A、5~6月份月利润增长量大于9~10月份月利润增长量 B、5~10月份月利润的中位数是700万元 C、5~10月份月利润的平均数是760万元 D、5~10月份月利润的众数是1000万元

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6. 下列命题：（1）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍（2）相等的圆心角所对的弦相等（3）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中真命题的个数有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 1$ ．将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转至 $△ A B_{1} C_{1}$ 的位置时，点 $B_{1}$ 恰好落在边 $B C$ 的中点处，则 $C C_{1}$ 的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型．已知每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．设“天宫”模型进价为每个 $x$ 元，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{100}{x} + 5 = \frac{100}{x + 10}$ B、 $\frac{100}{x} + 10 = \frac{100}{x + 5}$ C、 $\frac{100}{x} = \frac{100}{x + 5} + 10$ D、 $\frac{100}{x} = \frac{100}{x + 10} + 5$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - 3 x + 3$ 交 $x$ 轴于 $A$ 点，交 $y$ 轴于 $B$ 点，以 $A B$ 为边在第一象限作正方形 $A B C D$ ，其中顶点 $D$ 恰好落在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上，现将正方形 $A B C D$ 沿 $y$ 轴向下平移 $a$ 个单位，可以使得顶点 $C$ 落在双曲线上，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、2 D、 $\frac{4}{3}$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 45 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ．点 $E ， F$ 是 $A D$ 上两点，且 $D E = D B$ ， $D F = D C$ ，若 $B D = 2$ ， $C D = 3$ ．则 $\frac{A B}{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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二、填空题

11. 因式分解： $x^{3} - x$ = ．

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12. 如图是某立体图形的三视图，该立体图形的名称是，若主视图和左视图均为边长为 $2$ 的等边三角形，则该立体图形的表面积为．

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13. 盒子里装有若干个彩色球，它们除颜色外完全相同，其中有6个黄球，从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是 $\frac{1}{9}$ ，则盒子里共有个彩色球．

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14. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 $O$ 为圆心的圆的一部分．如果 $M$ 是 $⊙ O$ 中弦 $C D$ 的中点， $E M$ 经过圆心 $O$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，并且 $C D = 4 m$ ， $E M = 6 m$ ．则 $⊙ O$ 的半径为 $m$ ．

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15. 如图在菱形 $A B C D$ 中， $O$ 为对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点，点 $P$ 为边 $A B$ 上的任一点（不与 $A$ 、 $B$ 重合），过点 $P$ 分别作 $P M ⊥ A C$ ， $P N ⊥ B D$ ， $M$ 、 $N$ 为垂足，则可以判断四边形 $M P N O$ 的形状为．若菱形的边长为 $a$ ， $∠ A D C = 120 °$ ，则 $M N$ 的最小值为．（用含 $a$ 的式子表示）

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16. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 $P (m ， n)$ 和点 $P^{'} (m ， n^{'})$ ，若满足 $m \geq 0$ 时， $n^{'} = n - 4$ ； $m < 0$ 时， $n^{'} = - n$ ，则称点 $P^{'} (m ， n^{'})$ 是点 $P (m ， n)$ 的限变点．例如：点 $P_{1} (2 ， 5)$ 的限变点是 ${P_{1}}^{^{'}} (2 ， 1)$ ，则点 $P_{2} (- 2 ， 3)$ 的限变点是．若点 $P (m ， n)$ 在二次函数 $y = - x^{2} + 4 x + 2$ 的图象上，则当 $- 1 ≤ m ≤ 3$ 时，其限变点 $P^{'}$ 的纵坐标 $n^{'}$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 计算求解

(1)、计算： $\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - 6 t a n 30 ° + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - | 1 - \sqrt{3} |$ ；

(2)、先化简，再求值： $\frac{x - 3}{x - 2} \div (x + 2 - \frac{5}{x - 2})$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 3$ ．

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18. 如图，过 $▱ A B C D$ 的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

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19. 某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．参与数学游戏；E．挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：

(1)、①此次调查一共随机抽取了 ▲ 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；
③扇形统计图中圆心角 $α =$ ▲ 度；

(2)、若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名；

(3)、在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率．

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20. 如图，某测量小组为了测量山 $B C$ 的高度，在地面 $A$ 处测得山顶 $B$ 的仰角 $45 °$ ，然后沿着坡角为 $30 °$ （即 $∠ D A C = 30 °$ ）的坡面 $A D$ 走了200米到达 $D$ 处，此时在 $D$ 处测得山顶 $B$ 的仰角为 $60 °$ ，求山高 $B C$ （结果保留根号）

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21. 如图，点 $A$ ， $B$ 是反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 图像上的两点，过点 $A$ ， $B$ 分别作 $A C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $B D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，连接 $B C$ ，已知点 $C (2 ， 0)$ ， $B D = 3$ ， $S_{△ B C D} = 3$ ，

(1)、求点 $B$ 坐标及反比例函数解析式；

(2)、若 $A B$ 所在直线的解析式为 $y_{2} = a x + b (a \neq 0)$ ，根据图像，请直接写出不等式 $a x + b - \frac{k}{x} \leq 0$ 的解集．

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22. 某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元/件，售价为60元/件，下面是他们在活动结束后的对话：
小丽：我发现此商品如果按60元/件销售，每星期可卖出 $300$ 件．
小强：我发现在售价60元/件的基础上调整价格，每涨价 $1$ 元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．
小红：我发现在售价60元/件的基础上调整价格，每降价 $1$ 元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件．

(1)、若设每件涨价 $x$ 元，则每星期实际可卖出件，每星期售出商品的利润 $y_{1}$ （元）与 $x$ 的关系式为 $y_{1} =$ ， $x$ 的取值范围是．

(2)、若设每件降价 $a$ 元，则每星期售出商品的利润 $y_{2}$ （元）与 $a$ 的关系式为 $y_{2} =$ ．

(3)、在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是弦， $D$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点， $C D$ 与 $A B$ 交于点 $E$ ， $F$ 是 $A B$ 延长线上的一点，且 $C F = E F$ ．

(1)、求证： $C F$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $B D$ ，取 $B D$ 的中点 $G$ ，连接 $A G$ ．若 $C F = 4$ ， $t a n ∠ B D C = \frac{1}{2}$ ，求 $A G$ 的长．

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24. 已知，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $(1 ， 0)$ ，且过 $(- 1 ， 4)$ 和 $(0 ， 3)$ 点．

(1)、求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；

(2)、将二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 向右平移 $m (m > 0)$ 个单位，得到的新抛物线，当 $- 1 < x < 2$ 时，y随x增大而增大，当 $4 < x < 6$ 时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；

(3)、已知M、P、Q是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是 $k$ ， $k + 1$ ，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求 $∠ P M Q$ ．

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