内蒙古包头市青原区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列计算 ${(- 2 a^{2})}^{4}$ 的结果中，正确的是（）

A、 $16 a^{6}$ B、 $8 a^{6}$ C、 $16 a^{8}$ D、 $8 a^{8}$

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2. 如图是由若干个小正方体堆成的几何体的主视图（正视图），这个几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $| a | < | b |$ B、 $a + b > 0$ C、 $a + 1 < 0$ D、 $b - 1 > 0$

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4. 下列变形中正确的是（）

A、由 $- 2 x < 1$ ，得 $x < - \frac{1}{2}$ B、由 $2 x + 1 > 3 x - 1$ ，得 $x > - 2$ C、由 $2 x + 1 > x - 1$ ，得 $x > 2$ D、由 $x + 2 < 2 x - 2$ ，得 $x > 4$

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5. 学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位： $h$ ），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的平均数、方差是（）

A、6，4.4 B、5，6 C、6，4.2 D、6，5

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6. 一次动员会上，为了鼓励运动员奋力拼搏，某班级将分别标有“你”“我”“加”“油”汉字的四张卡片装在一个不透明的口袋中，这些卡片除汉字外无其他差别，每次摸卡片前先搅拌均匀随机摸出一张，不放回；再随机摸出一张卡片，两次摸出的卡片上的汉字可以组成“加油”的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C、D是 $⊙ O$ 上的点， $∠ C D B = 2 0^{∘}$ ，过点C作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点E，则 $∠ E$ 等于（）

A、 $70 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $20 °$

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8. 若关于x的方程 $\frac{2 x + m}{x - 2}$ ＋ $\frac{x - 1}{2 - x}$ ＝3的解是非负数，则m的取值范围为（）

A、m≤-7且m≠-3 B、m≥-7且m≠-3 C、m≤-7 D、m≥-7

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9. 如图 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C = 3 ， A O = 1$ ，若将 $A D$ 作 $A$ 点逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $A E$ ，连接 $O E$ ，则在 $D$ 点运动过程中，线段 $O E^{2}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、1

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10. 如图，在同一直角坐标系中，函数y= $\frac{k}{x}$ 与y=kx+k²的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c的顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②8a+c＜0；③关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝n-1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P（x₁ ， y₁）和Q（x₂ ， y₂），若x₁＜1＜x₂ ，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂ ．其中正确的结论共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为 $4$ ， $E$ 为 $C D$ 边上一点， $D E = 1$ ，连接 $A E$ ，过A作 $A F ⊥ A E$ ，交 $C B$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $E F$ ，过A作 $A G ⊥ E F$ ，垂足为点 $G$ ，连接 $C G .$ 则线段 $C G$ 的长为（）

A、3 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{34}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 如图，故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积约 $720000 m^{2}$ ，在世界宫殿建筑群中面积最大．将720000用科学记数法表示为．

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14. 代数式 $\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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15. 若某正数的两个平方根分别是 $3 a + b$ 与 $2 b - 3 a - 24$ ，则b的立方根是．

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16. 已知 $a^{2} - 3 a + 1 = 0$ ，则 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ 的值为．

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17. 已知多项式 $A = a x^{2} + 2 x - 5 ， B = x^{2} - \frac{1}{2} b x$ ，且 $A - 2 B$ 的值与字母x的取值无关，则 $a^{2} - b^{2}$ 的值为．

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18. 如图，四边形ABCD和CEFG是两个相邻的正方形，其中B，C，E在同一条直线上，点D在CG上，它们的面积分别为27平方米和48平方米，则BE的长为米．

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19. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是半圆弧的三等分点， $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，若 $A B = 4$ ，则图中阴影部分的面积为．

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20. 在直角坐标系中，等腰直角三角形 $A_{1} B_{1} O ， A_{2} B_{2} B_{1} ， A_{3} B_{3} B_{2} ， \dots ， A_{n} B_{n} B_{n - 1}$ 按如图所示的方式放置，其中点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， \dots ， A_{n}$ 均在一次函数 $y = k x + b$ 的图象上，点 $B_{1} ， B_{2} ， B_{3} ， \dots ， B_{n}$ 均在x轴上．若点 $B_{1}$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，点 $B_{2}$ 的坐标为 $(3 ， 0)$ ，则点 $A_{2023}$ 的坐标为．

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三、解答题

21. 某校对九年级学生进行了一次防疫知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班各50名学生的竞赛成绩（满分100分）进行整理，描述分析．下面给出部分信息：甲班成绩的频数分布直方图如图所示（数据分为6组：

40 \leq x < 50

，

50 \leq x < 60

，

60 \leq x < 70

，

70 \leq x < 80

，

80 \leq x < 90

，

90 \leq x \leq 100

），其中90分以及90分以上的人为优秀；甲班的成绩在

70 \leq x < 80

这一组的是：72，72，73，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．甲、乙两班成级的平均数、中位数、众数和优秀人数如下表：

	平均数	中位数	众数	优秀人数
甲班成绩	78	m	85	3
乙班成绩	75	73	82	6

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表中的

m =

；

(2)、在此次竞赛中，你认为甲班和乙班中，班表现的更优异，理由是；

(3)、如果该校九年级学生有600名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？

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22. 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图， $A B$ 、 $B C$ 可分别绕点 $A$ 、 $B$ 转动，测量知 $A B = 20 c m$ ， $B C = 14 c m$ ．当 $A B$ ， $B C$ 转动到 $∠ B A E = 70 °$ ， $∠ A B C = 65 °$ 时，求点 $C$ 到直线 $A E$ 的距离．（精确到 $0.1 c m$ ，参考数据： $s i n 70 ° \approx 0.94$ ， $c o s 70 ° \approx 0.34$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

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23. 某批发市场批发甲、乙两种水果，甲种水果的销售利润 $y_{甲}$ （万元）与进货量 $x$ （吨）近似满足函数关系 $y_{甲} = 0.5 x$ ；乙种水果的销售利润 $y_{乙}$ （万元）与进货量 $x$ （吨）近似满足函数关系 $y_{乙} = a x^{2} + b x$ （其中 $a \neq 0$ ， $a$ ， $b$ 为常数），且进货量 $x$ 为1吨时，销售利润 $y_{乙}$ 为1.4万元；进货量 $x$ 为3吨时，销售利润 $y_{乙}$ 为3.6万元．

(1)、求 $y_{乙}$ （万元）与 $x$ （吨）之间的函数关系式；

(2)、如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为 $t$ 吨，销售完毕，这两种水果所获最大利润是多少？

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $D$ 为 $⊙ O$ 外一点，连接 $A C$ ， $B C$ ， $B D$ ， $C D$ ，满足 $B C = B D$ ， $∠ C B D = 2 ∠ C B A$ ．

(1)、证明：直线 $C D$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、射线 $D C$ 与射线 $B A$ 交于点 $E$ ，若 $A B = 6$ ， $s i n E = \frac{1}{3}$ ，求 $B D$ 的长．

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25. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为 $(3 ， 0)$ ，点D坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，点P为第一象限内抛物线上一点．

(1)、b的值为；

(2)、如图1，连接 $P D$ ， $A C$ ，设 $P D$ 与 $B C$ 交于点E，若 $A C = D E$ ，求点E坐标；

(3)、如图2，设直线 $P D$ 与线段 $B C$ 所夹锐角为 $α$ ，若 $t a n α = 3$ ，求点P的坐标．

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26.

(1)、问题提出
如图①，在矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上找一点E，将矩形沿直线 $D E$ 折叠，点C的对应点为 $C^{'}$ ，再在 $A B$ 上找一点F，将矩形沿直线 $D F$ 折叠，使点A的对应点 $A^{'}$ 落在 $D C$ 上则 $∠ E D F =$ ．

(2)、问题探究
如图②在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A D = 4$ ，点P是矩形 $A B C D$ 边 $A B$ 上一点，连接 $P D 、 P C$ ，将 $△ A D P$ 、 $△ B C P$ 分别沿 $P D 、 P C$ 翻折，得到 $△ A^{'} D P$ 、 $△ B^{'} P C$ ，当P、 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 三点共线时，则称P为 $B C$ 边上的“优叠点”，求此时 $A P$ 的长度．

(3)、问题解决
如图③，矩形 $A B C D$ 位于平面直角坐标系中， $A D = 4$ ， $A D < A B$ ．点A在标原点，B，D分别在x轴与y轴上，点E和点F分别是 $C D$ 和 $B C$ 边上的动点，运动过程中始终保持 $D E + B F = 4$ ．当点P是 $A B$ 边上唯一的“优叠点”时，连接 $P E$ 交 $B D$ 于点M，连接 $P F$ 交 $B D$ 于点N，请问 $D M + B N$ 是否能取得最大值？如果能，请确定此时点M的位置（即求出点M的坐标）及四边形 $A D E P$ 的面积，若不能，请说明理由．

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