辽宁省辽阳市灯塔市2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数是负数的是（）

A、 $(- 1)^{2}$ B、 $| - 3 |$ C、 $- (- 5)$ D、 $\sqrt[3]{- 8}$

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2. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(2 a^{2})}^{3} = 6 a^{6}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 $2 a - a = 2$

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4. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 为了改善生态环境，某社区计划在荒坡上种植600棵树，由于学生志愿者的加入，每日比原计划多种20%，结果提前1天完成任务．设原计划每天种树x棵，可列方程（）

A、 $\frac{600}{(1 + 20 %) x} - \frac{600}{x} = 1$ B、 $\frac{600}{x} - \frac{600}{(1 - 20 %) x} = 1$ C、 $\frac{600}{(1 - 20 %) x} - \frac{600}{x} = 1$ D、 $\frac{600}{x} - \frac{600}{(1 + 20 %) x} = 1$

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6. 某校积极鼓励学生参加志愿者活动，下表列出了随机抽取的 $100$ 名学生一周参与志愿者活动的时间情况：
参与志愿者活动的时间（h）
1
$1.5$
2
$2.5$
3
参与志愿者活动的人数（人）
$20$
x
$38$
8
2
根据表中数据，下列说法中错误的是（）

A、表中 $x$ 的值为 $32$ B、这组数据的众数是 $2 h$ C、这组数据的中位数是 $2 h$ D、这组数据的平均数是 $1.7 h$

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7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若 $O A = 3$ ， $E F = 2$ ，则菱形ABCD的边长为（）

A、2 B、2.5 C、3 D、5

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8. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）

A、4 B、8 C、6 D、10

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴相交于 $A (- 1 ， 0)$ ， B两点，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、当 $x = - 1$ 时，y的值随x值的增大而增大 C、点B的坐标为 $(4 ， 0)$ D、 $4 a + 2 b + c > 0$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $A B = 2$ ， $B D$ 是 $A C$ 边上的中线，将 $△ B C D$ 沿射线 $C B$ 方向以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为 $△ B_{1} C_{1} D_{1}$ ，设 $△ B_{1} C_{1} D_{1}$ 与 $△ A B D$ 重叠部分的面积为 $y$ ，平移运动时间为 $x$ ，当点 $C_{1}$ 与点 $B$ 重合时， $△ B_{1} C_{1} D_{1}$ 停止运动，则下列图象能反映 $y$ 与 $x$ 之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 《全国防沙治沙规划（ $2021 - 2030$ 年》》正式印发实施，提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务1.86亿亩．数据“1.86亿”用科学记数法表示为．

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12. 如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E=.

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13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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14. 若方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 1 + 3 a \\ x + 3 y = 1 - a \end{array}$ 的解满足 $x + y = 0$ ，则a=.

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15. 如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则 $S_{甲}^{2}$ $S_{乙}^{2}$ （填“>”，“=”或“<”）．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (a ， b)$ 为第一象限内一点，且 $a < b$ .连接 $O A$ ，并以点 $A$ 为旋转中心把 $O A$ 逆时针转90°后得线段 $B A$ .若点 $A ， B$ 恰好都在同一反比例函数的图象上，则 $\frac{b}{a}$ 的值等于.

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17. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 两点在圆上，连接 $A D$ ， $C D$ ，且 $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{C D}$ ， $∠ C A B = 25 °$ ， $P$ 为 $\overset{⌢}{A B C}$ 上一动点，在运动过程中， $D P$ 与 $A C$ 相交于点 $M$ ，当 $△ C D M$ 为等腰三角形时， $∠ P D C$ 的度数为．

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18. 如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是.

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $\frac{x + 1}{x^{2} - 4} \cdot (\frac{1}{x + 1} + 1)$ ，其中x为不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ 5 - 2 x > 3 \end{array}$ 的整数解．

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20. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：

(1)、共有名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是度；

(2)、补全调查结果条形统计图；

(3)、小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

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21. 建设美丽城市，改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.

(1)、求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

(2)、2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

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22. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 $A B$ 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上 $C$ 点测得屋顶 $A$ 的仰角为 $35 °$ ，此时地面上 $C$ 点、屋檐上 $E$ 点、屋顶上 $A$ 点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点 $D$ 时，又测得屋檐 $E$ 点的仰角为 $55 °$ ，房屋的顶层横梁 $E F = 12 m$ ， $E F ∥ C B$ ， $A B$ 交 $E F$ 于点 $G$ （点 $C$ ， $D$ ， $B$ 在同一水平线上）．（参考数据： $s i n 35 ° \approx 0.6$ ， $c o s 35 ° \approx 0.8$ ， $t a n 35 ° \approx 0.7$ ， $s i n 55 ° \approx 0.8$ ， $c o s 55 ° \approx 0.6$ ， $t a n 55 ° \approx 1.4$ ）

(1)、求屋顶到横梁的距离 $A G$ ；

(2)、求房屋的高 $A B$ ．

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23. 我市某景区商店在销售北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品的月销售量y件是销售单价x元的一次函数，如表是该商品的销售数据．
销售单价x（元）
40
50
月销售量y（件）
100
80

(1)、求y与x的函数关系式；

(2)、若该商品的进货单价是30元．请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？

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24. 如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD.

(1)、求证：CD是⊙O的切线.

(2)、若tan∠BED= $\frac{2}{3}$ ， AC=9，求⊙O的半径.

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25. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ．

(1)、如图1，连接 $E C$ ，求证： $△ E B C$ 是等边三角形；

(2)、点 $M$ 是线段 $C D$ 上的一点（不与点 $C$ ， $D$ 重合），以 $B M$ 为一边，在 $B M$ 的下方作 $∠ B M G = 60 °$ ， $M G$ 交 $D E$ 延长线于点 $G$ ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出 $M D$ ， $D G$ 与 $A D$ 之间的数量关系；

(3)、如图3，点 $N$ 是线段 $A D$ 上的一点，以 $B N$ 为一边，在 $B N$ 的下方作 $∠ B N G = 60 °$ ， $N G$ 交 $D E$ 延长线于点 $G$ ．试探究 $N D$ ， $D G$ 与 $A D$ 数量之间的关系，并说明理由．

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26. 如图，在平而直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 与x轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C．

(1)、试求抛物线的解析式；

(2)、直线 $y = k x + 1 (k > 0)$ 与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线 $B C$ 交于点M，记 $m = \frac{S_{△ C P M}}{S_{△ C D M}}$ ，试求m的最大值及此时点P的坐标；

(3)、在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标：若不存在，请说明理由．

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参与志愿者活动的时间（h）	1	$1.5$	2	$2.5$	3
参与志愿者活动的人数（人）	$20$	x	$38$	8	2

销售单价x（元）	40	50
月销售量y（件）	100	80