吉林省长春市朝阳区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2023的____是-2023，则横线上可填写的数学概念名词是（）

A、倒数 B、平方 C、绝对值 D、相反数

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2. 如图，一个正方体的三个面上分别标有汉字数、学、美，不考虑汉字方向，则它的展开图可能是下面四个展开图中的（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $2 x^{2} - x^{2} = x^{2}$ B、 $x^{2} + x^{3} = x^{5}$ C、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ D、 ${(x^{2})}^{3} = x^{5}$

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4. 方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的根的情况是（）

A、没有实数根 B、有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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5. 如图， $⊙ O$ 的弦 $A B$ 、 $C D$ 交于点E．若 $∠ A = 46 °$ ， $∠ A E D = 87 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $23 °$ B、 $31 °$ C、 $41 °$ D、 $46 °$

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6. 如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下 $A$ 处乘缆车上山顶 $B$ 处，缆车索道与水平线所成的 $∠ B A C = α$ ，若山的高度 $B C = 800$ 米，则缆车索道 $A B$ 的长为（）

A、 $800 s i n α$ 米 B、 $800 c o s α$ 米 C、 $\frac{800}{s i n α}$ 米 D、 $\frac{800}{c o s α}$ 米

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7. 如图，利用内错角相等，两直线平行，我们可以用尺规作图的方法，过 $∠ A O B$ 的边 $O B$ 上一点 $E$ 作 $O A$ 的平行线 $E G$ ．有以下顺序错误的作图步骤：①作射线 $E G$ ；②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交 $O A$ 、 $O B$ 于点C、D；③以F为圆心， $C D$ 长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；④在边 $O B$ 上取一点E，以E为圆心， $O C$ 长为半径画圆弧，交 $O B$ 于点F．这些作图步骤的正确顺序为（）

A、①②③④ B、③②④① C、②④③① D、④③①②

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8. 如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是2个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A、B在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，则k的值为（）

A、6 B、12 C、24 D、48

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二、填空题

9. 不等式 $3 x < 2 x - 1$ 的解集为．

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10. 分解因式： $a^{2} - 3 a =$ .

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11. 如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则 $∠ D E F$ 的大小是度．

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12. 中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1， $α$ 为直角三角形中的较大锐角，则tan $α$ =.

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13. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上的一点，连结 $A C$ 、 $B C$ ，以 $C$ 为圆心， $A C$ 长为半径画圆弧，使点 $B$ 在该圆弧上，再将 $⊙ O$ 分别沿 $A C$ 、 $B C$ 向内翻折．若 $A B$ ＝ $2$ ，则图中阴影部分图形的面积和为．（结果保留 $π$ ）

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14. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $A (2 ， - 2)$ 在抛物线 $y = - x^{2} + k$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线于另一点 $B$ ，点 $C$ 、 $D$ 在线段 $A B$ 上，且 $C$ 、 $D$ 两点关于 $y$ 轴对称，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $E$ ．连接 $E D$ ，若 $C E = 2 C D$ ，则线段 $C D$ 的长为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： ${(a - b)}^{2} + b (2 a - b)$ ，其中 $a = \sqrt{5}$ ．

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16. 如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是神舟十三号、十四号和十五号纪念图章，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上纪念图章相同的概率．

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17. 电子商务的迅速崛起，带来了物流运输和配送的巨大需求．某快递公司采购A、B两种型号的机器人进行5公斤以下的快递分拣，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣10件快递，且A型机器人分拣700件快递所用的时间与B型机器人分拣600件快递所用的时间相同，求B型机器人每小时分拣快递的件数．

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18. 如图，在 $R t △ B D E$ 中， $∠ B D E = 90 °$ ， $C D$ 是边 $B E$ 的中线，过点D作 $A D ∥ B E$ ，且 $A D = B C$ ，连接 $A E$ 交 $B D$ 于F．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形．

(2)、若 $B D = 3$ ，菱形 $A B C D$ 的面积为 $\frac{15}{2}$ ，则 $t a n ∠ D E F$ 的值为．

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19. 如图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． $△ A B C$ 的顶点均在格点，点D为 $A C$ 上一格点，点E为 $A B$ 上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．

(1)、在图①中画 $△ A B C$ 的中位线 $D F$ ，使点F在边 $A B$ 上．

(2)、在图②中画以 $A C$ 为对角线的 $▱ A B C G$ ．

(3)、在图③中作射线 $E D$ ，在其上找到一点H，使 $D H = D E$ ．

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20. 为了解我国2022年25个地区第一季度快递业务收入情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入（单位：亿元）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
a．排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：
5349  437.0  270.3  187.7  104.0
b．其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
快递业务收入x
$0 \leq x < 20$
$20 \leq x < 40$
$40 \leq x < 60$
$60 \leq x \leq 80$
频数
6
10
1
3
c．第一季度快递业务收入的数据在 $20 \leq x < 40$ 这一组的是：
20.2  20.4  22.4  24.2  26.1  26.5  28.5  34.4  39.1  39.8
d．排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：

前5位的地区
其余20个地区
全部25个地区
平均数
306.8
29.9
n
中位数
270.3
m
28.5
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表中m的值为；

(2)、在下面3个数中，与表中n的值最接近的是（填写序号）；
①30           ②85       ③150

(3)、根据（2）中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务收入约为亿元．

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21. 某食品加工厂的甲、乙两个生产组领到了相同的加工任务，甲、乙两组以相同的工作效率同时开始工作，中途乙组因升级设备，停工了一段时间．乙组设备升级完毕后，提高了工作效率，在完成本组任务后，并帮助甲组加工了60 kg食品，最后两组同时停工，完成了此次加工任务，两组各自加工的食品量y（kg）与甲组工作时间x（h）之间的函数图象如图所示．

(1)、甲组每小时加工食品kg，乙组升级设备后每小时加工食品kg．

(2)、求乙组设备升级完毕后y与x之间的函数关系式．

(3)、求m、n的值．

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22. 【题目】如图①，在矩形ABCD中， $A D = 2 A B$ ， F是AB延长线上一点，且 $B F = A B$ ，连结DF，交BC于点E，连结AE．试判断线段AE与DF的位置关系．
【探究展示】小明发现， $A E ⊥ D F$ ，并展示了如下的证明方法：
证明：∵ $B F = A B$ ，
∴ $A F = 2 A B$ ．
∵ $A D = 2 A B$ ，
∴ $A D = A F$ ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴ $A D ∥ B C$ ．
∴ $\frac{B F}{A B} = \frac{E F}{D E}$ ．
∵ $B F = A B$ ，
∴ $\frac{E F}{D E} = 1$ ．
∴ $D E = E F$ ．
∵ $A D = A F$ ，
∴ $A E ⊥ D F$ ． (依据)

(1)、【反思交流】上述证明过程中的“依据”是．

(2)、小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图②，连结图①中的 $C F$ ，将 $C F$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $C G$ ，连结 $E G$ ．求证：点 $G$ 在线段 $B C$ 的垂直平分线上．

(3)、【拓展应用】如图③，将图①中的 $C F$ 绕着点 $F$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $F H$ ．分别以点 $B$ 、 $C$ 为圆心，以 $m$ 长为半径作弧，两弧交于点 $M$ ，连结 $M H$ ．若 $M H = A B = 1$ ，直接写出 $m$ 的值．

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $A D = 3$ ， $B D$ 是对角线，E为边 $A B$ 的中点．点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，在线段 $A P$ 的延长线上取一点Q，使 $P Q = 2 A P$ ，以 $P Q$ 为斜边向其右侧作 $R t △ P Q M$ ，使 $P M ∥ A B$ ．连接 $E M$ ，作点A关于 $E M$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $E A^{'}$ ，设点P运动的时间为t秒（ $t > 0$ ）．

(1)、 $B D$ 的长为．

(2)、用含t的代数式表示线段 $D Q$ 的长．

(3)、当点 $A^{'}$ 在边 $B D$ 上时，求 $△ P Q M$ 与 $▱ A B C D$ 重叠部分图形的面积；

(4)、当 $E A^{'} ∥ B D$ 时，直接写出t的值．

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24. 在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = x^{2} + b x$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，点 $A$ 、 $B$ 在该抛物线上（点 $A$ 与点 $B$ 不重合），其横坐标分别为 $m$ 、 $- 2 m$ ．该抛物线在 $A$ 、 $B$ 两点之间的部分（包括 $A$ 、 $B$ 两点）记为图象 $G$ ．

(1)、求该抛物线对应的函数关系式．

(2)、当图象 $G$ 的对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时，求 $m$ 的取值范围．

(3)、当抛物线 $y = x^{2} + b x$ 的顶点是图象 $G$ 的最低点时，设图象 $G$ 的最高点与最低点的纵坐标之差为 $h$ ，求 $h$ 与 $m$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $m$ 的取值范围．

(4)、过 $A$ 、 $B$ 两点中较低的点作 $y$ 轴的垂线交图象 $G$ 于另一个交点 $P$ ，以这个较低的点与点 $P$ 的连线为边向其下方作正方形，当点 $O$ 在该正方形内部，且抛物线的顶点到该正方形的边的最小距离是 $1$ 时，直接写出 $m$ 的值．

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快递业务收入x	$0 \leq x < 20$	$20 \leq x < 40$	$40 \leq x < 60$	$60 \leq x \leq 80$
频数	6	10	1	3

	前5位的地区	其余20个地区	全部25个地区
平均数	306.8	29.9	n
中位数	270.3	m	28.5