吉林省松原市宁江区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列实数：3.1416， $π$ ， $\sqrt[3]{6}$ ， $\sqrt{3}$ ， -1，其中无理数的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 在我国《“十四五”就业促进规划》中明确提出，到2025年，城镇新增就业5500万人以上，数据5500万用科学记数法表示为（）

A、 $5.5 \times 1 0^{7}$ B、 $5.5 \times 1 0^{3}$ C、 $55 \times 1 0^{6}$ D、 $55 \times 1 0^{2}$

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3. 如图所示的石板凳，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 不等式 $2 x + 1 > 5$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O ， ∠ A B C = 135 ° ， A C = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

7. 因式分解： $3 a^{2} - 6 a b$ ＝．

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8. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 有两个实数根，则 $k$ 的取值范围是.

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9. 《九章算术》是中国古代重要的数学专著，有一问题的译文为：上等谷2束，下等谷1束，可得粮食13斗；上等谷1束，下等谷1束，可得粮食8斗，求每束上等谷和下等谷各多少斗？设每束上等谷x斗，每束下等谷y斗，则可列方程组为．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 上一点， $A D = A C$ ， $A E ⊥ C D$ ，垂足为E，F是 $B C$ 的中点， $E F = 3$ ，则 $B D$ 的长为．

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，经过 $A$ ， $D$ 两点的圆的圆心 $O$ 恰好落在 $A B$ 上， $⊙ O$ 分别与 $A B$ 、 $A C$ 相交于点 $E$ 、 $F .$ 若圆半径为 $2 .$ 则阴影部分面积 $=$ ．

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12. 抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的顶点D在直线 $y = 3 x + 1$ 上运动，顶点运动时抛物线也随之运动，抛物线与直线 $x = - 5$ 相交于点Q，则点Q纵坐标的最大值为.

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13. 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图， $A E = 10 m$ ， $∠ B D G = 30 °$ ， $∠ B F G = 60 °$ ，已知测角仪 $D A$ 的高度为 $1.5 m$ ，则旗杆 $B C$ 的高度约为m.（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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14. 如图，在直角坐标系中点 $A (0 ， 4)$ ， $B (3 ， 4)$ ，将 $△ A B O$ 向右平移，某一时刻，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象恰好经过点A和OB的中点，则k的值为．

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三、解答题

15. 计算： $\sqrt{2} \cdot c o s 45 ° - s i n 30 ° + t a n^{2} 60 °$ ．

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16. 先化简，再求值： $[(x - 2 y)^{2} + (x - 2 y) (x + 2 y) - 2 x (2 x - y)] \div (- 4 x)$ 其中 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = 1$ ．

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17. 某校开展“强国学习”知识竞赛，现从一队，二队，三队，四队四个队中，随机抽取两个队进行第一轮的抢答PK环节比赛，请用列表或画树状图的方法求出抽到二队和三队比赛的概率．

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18. 某店有 $A$ 、 $B$ 两种口罩出售，其中 $B$ 种口罩的单价要比 $A$ 种口罩的单价多0.3元，用27元购进 $A$ 种口罩数量是用18元购进 $B$ 种口罩数量的2倍．

(1)、求 $A$ 、 $B$ 两种口罩的单价；

(2)、某单位从该店购进 $A$ 、 $B$ 两种口罩共1000个，总费用为1080元，求购进 $A$ 种口罩多少个．

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19. 如图，图①、图②均是 $8 \times 8$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $1$ ，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均为格点只用无刻度的直尺，按下列要求作图：

(1)、在图①中，作 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上的高；

(2)、在图②中，过点 $B$ 作直线 $l$ ，使得直线 $l$ 平分 $△ A B C$ 的面积．

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，边 $A B$ 的垂直平分线交 $A D$ 于点E，交 $C B$ 的延长线于点F，连接 $A F$ ， $B E$ .

(1)、求证： $△ A G E ≌ △ B G F$ ；

(2)、求证：四边形 $A F B E$ 是菱形.

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21. 为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．

(1)、本次随机调查的学生人数是人；

(2)、请你补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于度；

(4)、小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．

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22. 华山古称“西岳”，为五岳之一，中华的“华”源于华山，因此华山有了“华夏之根”之称，华山南接秦岭山脉，北瞰黄渭，自古以来就有“奇险天下第一山”的说法．甲、乙两人住同一小区，该小区到华山的距离为300千米，两人先后从家出发沿同一路线驾车驶向华山，如图，线段 $O A$ 表示甲离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系；线段 $B D$ 表示乙离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系．点C在线段 $B D$ 上，请根据图象解答下列问题：

(1)、求点B的坐标；

(2)、在整个过程中 $(0 \leq t \leq 5)$ ，求t为何值时，甲、乙两人之间的距离恰好为30千米．

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23. 如图， $A B$ 为⊙ $O$ 的直径，点 $C$ 是⊙ $O$ 上一点，过点 $C$ 的直线交 $A B$ 的延长线于点 $M$ ．作 $A D ⊥ M C$ ，垂足为点 $D$ ，已知 $A C$ 平分 $∠ M A D$ ．

(1)、求证： $M C$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若 $A B = B M$ ， $M C = 4$ ，求⊙ $O$ 的半径．

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24. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ ，垂足为 $E$ ， $D F$ 平分 $∠ A D C$ ，交线段 $A E$ 于点 $F$ ．

(1)、如图1，延长 $E A$ 到点 $G$ ，使得 $A G = B E$ ，连接 $D G$ ．
①若 $∠ A D C = 2 α °$ ，则 $∠ B A E =$ ▲ °（用含有α的代数式表示）；
②若 $A E = A D$ ，求证： $G D = A F + B E$ ．

(2)、如图2，延长 $E A$ 到点 $G$ ，使得 $A G = 2 B E$ ，连接 $D G$ ．若 $A D = 2 A E$ ，用等式表示线段 $C D$ ， $A F$ ， $B E$ 之间的数量关系，直接写出结果（不需证明）．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $A B = 5$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 上的点，且 $B D = 1$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发（点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合），沿 $A C$ 以每秒1个单位长度的速度向终点 $C$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿折线 $C B - B D$ 向终点 $D$ 运动，以 $D P$ 、 $D Q$ 为邻边构造 $▱ P E Q D$ ，设点 $P$ 运动的时间为 $t$ （ $0 < t < 4$ ）秒．

(1)、当点 $Q$ 与点 $B$ 重合时， $t$ 的值为；

(2)、当点 $E$ 落在 $A C$ 边上时，求 $t$ 的值；

(3)、设 $▱ P E Q D$ 的面积为 $S$ （ $S > 0$ ），求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

(4)、连接 $P Q$ ，直接写出 $P Q$ 与 $△ A B C$ 的边平行时 $t$ 的值．

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26. 如图，抛物线 $y ＝ - x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于点 $A ， B ，$ 与y轴交于点C，点A的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ．

(1)、求b的值和点B，C的坐标；

(2)、若点D为 $O C$ 的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作 $P H ⊥ x$ 轴，垂足为H， $P H$ 与 $B C ， B D$ 分别交于点 $E ， F$ ，且 $P E = E F = F H$ ，求点P的坐标；

(3)、若直线 $y = n x + n （ n \neq 0 ）$ 与抛物线交于 $M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2})$ 两点，且有一个交点在第一象限，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，若 $x_{2} - x_{1} > 3 ， y_{2} > y_{1} ，$ 结合函数图象，探究n的取值范围．

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