广东省深圳市南山区2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图所示的空心圆柱，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（）

A、 $22 \times 1 0^{10}$ B、 $2.2 \times 1 0^{10}$ C、 $2.2 \times 1 0^{11}$ D、 $0.22 \times 1 0^{12}$

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3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A、 $2 x^{2} + x + 1 = 0$ B、 $x (x - 3) = 0$ C、 $3 x^{2} - x = 2$ D、 ${(x + 2)}^{2} = 4$

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4. 如图，函数 $y = - 2 x$ 和 $y = k x + 5$ 的图象相交于点 $A (a ， 2)$ ，则不等式 $- 2 x \leq k x + 5$ 的解集为（）

A、 $x \leq 2$ B、 $x \geq - 1$ C、 $x \leq - 1$ D、 $x > - 1$

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5. 如图，直线 $a ∥ b$ ，等边 $△ A B C$ 的顶点C在直线b上，若 $∠ 1 = 42 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $92 °$ B、 $102 °$ C、 $112 °$ D、 $114 °$

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6. 下列说法正确的是（）

A、某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖 B、从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件 C、篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件 D、为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查

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7. 如图，点O为 $△ A B C$ 的 $A B$ 边上的一点， $⊙ O$ 经过点B且恰好与边 $A C$ 相切于点C，若 $∠ B = 30 °$ ， $A C = 2$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{π}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2 π}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{π}{8}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 π}{9}$

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8. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为 $10 c m$ ，像距为 $15 c m$ ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 $8 c m$ ，则蜡烛火焰的高度是（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、6 C、 $\frac{16}{3}$ D、8

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9. 如图，等边 $△ A B C$ 内有一点E， $B E = 4$ ， $C E = 6$ ，当 $∠ A E B = 150 °$ 时，则 $A E$ 的长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{5}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时， $\frac{C F}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

11. 分解因式： $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x =$ ．

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12. 有4张背面相同，正面分别印有 $0 ， - 5 ， π ， 2.5$ 的卡片，现将这4张卡片背面朝上，从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D是边 $A B$ 的中点，过点D作 $D M ⊥ B C$ 于点M，延长 $D M$ 至点E，且 $A C = E M = 2 D M$ ，连接 $A E$ 交 $B C$ 于点N，若 $A C = 5 ， A B = 13$ ，则 $A E$ 的长为．

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14. 如图，在 $R t △ O A B$ 中， $∠ O B A = 90 °$ ， $O A$ 在 $x$ 轴上， $A C$ 平分 $∠ O A B$ ， $O D$ 平分 $∠ A O B$ ， $A C$ 与 $O D$ 相交于点 $E$ ，且 $O C = \sqrt{5}$ ， $C E = \sqrt{2}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象经过点 $E$ ，则 $k$ 的值为．

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15. 如图，点G是 $△ A B C$ 内的一点，且 $∠ B G C = 120 °$ ， $△ B C F$ 是等边三角形，若 $B C = 3$ ，则 $F G$ 的最大值为．

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三、解答题

16. 化简分式： $(\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4 x + 4} - \frac{3}{x - 2}) \div \frac{x - 3}{x^{2} - 4}$ ，并从1，2，3这三个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．

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17. 如图，已知点 $B (- 3 ， 6)$ ， $C (- 3 ， 0)$ ，以坐标原点O为位似中心，在第四象限将 $△ O B C$ 缩小为原来的三分之一（即新图形与原图形的相似比为 $1 ： 3$ ）．

(1)、画出缩小后的图形；

(2)、写出B点的对应点坐标；

(3)、如果 $△ O B C$ 内部一点M的坐标为 $(x ， y)$ ，写出点M经位似变换后的对应点坐标．

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18. 为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中信息，解决下列问题：

(1)、求此次调查中接受调查的人数，并补全条形统计图．

(2)、若本市人口300万人，估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人数．

(3)、兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自同区的概率．

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19. 如图， $⊙ O$ 的弦 $A B ， C D$ 交于点E，连接 $A C ， B C$ ，延长 $D C$ 到点P，连结 $P B ， P B$ 与 $⊙ O$ 相切，且 $P B = P E$ ．

(1)、求证：点A是 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点；

(2)、若 $A E = B E$ ， $A C = 4$ ，求 $A E$ 的长．

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20. 铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了 $0.5$ 元，购进苹果数量是试销时的2倍．

(1)、试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？两次共购进多少苹果？

(2)、如果超市将该品种苹果按每千克10元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的500千克按定价的六折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？

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21. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：
在 $y = a | x - 1 | + b$ 中，下表是y与x的几组对应值．
$x$
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
$y$
…
7
$m$
3
1
$n$
1
3
…

(1)、 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、平面直角坐标系中，画出函数的图象；

(3)、根据图象，判断下列关于该函数性质的说法是否符合题意，正确的打√，错误的打×．
①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线 $x = 1$ ．（   ）
②当 $x < 1$ 时，y随x的增大而增大，当 $x ≥ 1$ 时，y随x的增大而减小．（   ）
③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当 $x = 1$ 时有最小值 $- 1$ ．（   ）

(4)、若方程组 ${\begin{array}{l} y = 2 x + t \\ y = a | x - 1 | + b \end{array}$ 有且只有一个公共解，则t的取值范围是．

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22. 平行四边形 $A B C D$ 中，点E在边 $B C$ 上，连 $A E$ ，点F在线段 $A E$ 上，连 $B F$ ，连 $A C$ ．

(1)、如图1，已知 $A B ⊥ A C$ ，点E为 $B C$ 中点， $B F ⊥ A E$ ．若 $A E = 5 ， B F = 2 \sqrt{6}$ ，求 $A F$ 的长度；

(2)、如图2，已知 $A B = A E ， ∠ B F E = ∠ B A C$ ，将射线 $A E$ 沿 $A C$ 翻折交 $C D$ 于H，过点C作 $C G ⊥ A C$ 交 $A H$ 于点G．若 $∠ A C B = 45 °$ ，求证： $A F + A E = A G$ ；

(3)、如图3，已知 $A B ⊥ A C$ ，若 $∠ A C B = 30 ° ， A B = 2$ ，直接写出 $A F + B F + C F$ 的最小值．

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$x$	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
$y$	…	7	$m$	3	1	$n$	1	3	…