广东省梅州市兴宁县2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列有关实数 $a (a \neq 0)$ 的运算不一定成立的是（）

A、 $a - (- a) = 2 a$ B、 $a^{- 1} = \frac{1}{a}$ C、 $\sqrt{a^{2}} = {(\sqrt{a})}^{2}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = {(a^{3})}^{2}$

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2. 下列有关科学记数法 $a \times 1 0^{b}$ 的理解一定正确的是（）

A、 $b > 0$ B、 $1 \leq | a | < 10$ C、 $0 < a < 10$ D、 $b$ 为整数

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3. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是（）

A、中位数为4.5 B、平均数为 $\frac{8}{3}$ C、众数是1 D、极差是4

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4. 已知实数a，b满足 $| a - 4 | + (b^{2} - 4 b + 4) = 0$ ，则有关x的不等式组 ${\begin{array}{l} a x \leq b \\ b x > a \end{array}$ 的解集为（）

A、 $x \leq \frac{1}{2}$ B、 $x > 2$ C、 $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ D、无解

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5. 已知一个正多边形的每个内角是 $150^{\circ}$ ，则这个正多边形是（）

A、正八边形 B、正十边形 C、正十二边形 D、正十四边形

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6. 无理数 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的估值最接近于有理数（）

A、0.7 B、0.6 C、0.5 D、0.4

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7. 已知双曲线 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 与双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{1} \cdot k_{2} > 0)$ 与直线 $y = m x (m < 0)$ 从左到右依次交于 $A ， B ， C ， D$ 四点，若 $O B = 3 A B$ （ $O$ 为坐标原点），则 $\frac{C D}{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 在小于20的质数中，一次性从中抽出2个，将这两个数作差并取绝对值后得到一个新的数，则这个数仍为质数的概率是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{5}{14}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9. 已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 与一次函数 $y = 2 x + 6$ 交于 $A ， B$ 两点，则线段 $A B$ 的长度为（）

A、 $20 \sqrt{2}$ B、 $20 \sqrt{3}$ C、 $40 \sqrt{3}$ D、20

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10. 如题图所示，已知一个半径为2的 $⊙ O$ ， P为平面内一个点，过点P作 $⊙ O$ 的两条切线 $P C$ ， $P D$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的一条直径，且 $A B ∥ C P$ ，连接若干条线段的端点．若 $t a n ∠ O D A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，下列给出的四个命题中，为假命题的是（）

A、 $S_{△ C G B} = 2 \sqrt{3} - 2$ B、 $△ B O D$ 为正三角形 C、 $∠ C A O + ∠ O P C = 2 ∠ B D P$ D、 $C P = 2 \sqrt{3} + 2$

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二、填空题

11. 计算： $s i n 45 ° \cdot c o s 30 ° + c o s 45 ° \cdot s i n 30 ° =$ ．

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12. ${(x + 1)}^{3}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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13. 写出一个函数使其图像与反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象有3个不同的交点．

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14. 一列数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， ……．满足条件： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，（ $n \geq 2$ ，且n为正整数），则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ ⋯ + a_{2023} =$ ．

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15. 如题图所示，在 $△ A B C$ 中存在一面积为 $π$ 的内切圆，其圆心为点 $O$ ，连接 $A O$ ，若满足 $A B + A C = 2 a$ ， $B C = \frac{3}{2} a$ ， $t a n ∠ O A C = \frac{16}{a^{2}}$ ，则实数 $a$ 的值为．

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三、解答题

16. 化简求值： $(\frac{a + b}{a - b} - 1) \div \frac{b^{2}}{a^{2} - a b}$ ，其中 $b = \frac{\sqrt{2^{2023}}}{\sqrt{2^{2021}}}$ ， $a = | - \sqrt{b} |$ ．

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17. 如题图所示，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2$ ， $∠ A D C = 120 °$ ，以A为圆心， $A D$ 为半径画弧，交 $A C$ 于点E，且该圆弧恰好经过点B，过点E作 $E F ∥ A B$ 交 $A D$ 于点F．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、求阴影部分面积．（计算结果保留 $π$ ）

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18. 在某次高三数学一模考试中，高三（六）班统计了数列大题的得分情况如下表所示，现已知高三（六）班共计50人，本数列大题满分10分，若 $b - a = 1$ ．
得分
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
$10$
人数
3
1
3
3
7
2
6
a
6
$10$
b

(1)、求实数a，b的值；

(2)、求这50名学生的成绩的平均数，众数；

(3)、若在该班随机抽取一名学生，该学生得分为5分及5分以下的概率是．

(4)、若该学校共有1200名学生，试估计该学校该题的满分学生的人数．

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19. 若关于x，y的二元一次方程 ${\begin{array}{l} x - y = 2 a + 3 \\ x + y = 4 a - 1 \end{array}$ ，若满足 $x > 0$ ， $y > 0$ ．

(1)、求参数a的取值范围；

(2)、若y为一个直角三角形的一条直角边长，x为该直角三角形的斜边长，另一条直角边长为方程 $m^{3} - 6 \sqrt{11} m^{2} + 99 m = 0$ 的一个根，试求该直角三角形的周长．

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20. 兴宁县有一间名为“韩国料理”的餐饮店，味美价廉，该店以“肥牛鸡排双拼饭”与“鳕鱼肥牛双拼饭”出名，每天吸引附近很多学生慕名而来．现已知“肥牛鸡排双拼饭”单价比“鳕鱼肥牛双拼饭”高5元，且用500元购买“肥牛鸡排双拼饭”与用400元购买“鳕鱼肥牛双拼饭”数量相同．

(1)、求“肥牛鸡排双拼饭”与“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价；

(2)、经过市场调研发现，以（1）中的单价出售“肥牛鸡排双拼饭”每天可以出售80份，若每份售价提高1元时，每天出售份数少3份，设每份售价提高x元 $(0 \leq x < 10)$ 且x为整数，y为每天的营业额，求y关于x的函数解析式以及营业额y的最大值．

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21. 如题图所示， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $∠ B C A = 90 °$ ，点D为线段 $A C$ 上一点，延长 $B C$ 至点E使 $C E = C D$ ，连接 $A E$ ， $B D$ ，延长 $B D$ 交 $A E$ 于点F，求证： $D F^{2} + E F^{2} = 2 (B C \cdot C D - B D \cdot F D)$ ．

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22. 已知二次函数 $y_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ ，关于x的方程 $\frac{1}{2} x^{2} + b x + c = 0$ 有下列四个命题：① $x = 1$ 是方程的根 ② $x = - 3$ 是方程的根 ③该方程两根和为4 ④该方程两根同号，若其中只有1个命题为假命题，将 $y_{1}$ 向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位，向下平移 $\frac{21}{8}$ 个单位得到函数 $y_{2}$ ．

(1)、求函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的解析式；

(2)、如题图所示，已知 $y_{2}$ 与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上位于直线BC下方一动点，当 $∠ P C B = 2 ∠ A B C$ 时，求点P的坐标；

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23. 在平面直角坐标系中，有一矩形 $A B C O$ ，连接 $B O$ 、 $A C$ ，已知点B的坐标为 $(2 \sqrt{3} ， 2)$ ．
ⅰ：如题图1所示，反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ ，点P为反比例函数上一动点，设 $P (t ， \frac{2}{t})$ ．

(1)、连接 $P O$ ， $P B$ ，当 $0 < t < 1$ 时，求 $S_{△ P O B}$ 与t的函数关系式；

(2)、若点P满足 $\frac{(O P + B P) (O P - B P)}{O B^{2}} = 1$ ，求满足该条件的P点个数；
ⅱ：如题图2所示，以点B为圆心，作一个与AC相切的 $⊙ B$ ，过点O作 $⊙ B$ 的切线，切点T位于 $⊙ B$ 左上方；

(3)、试问直线 $O T$ 与直线 $A C$ 是否垂直，若垂直，请给出证明：若不垂直，请说明理由．

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得分	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	$10$
人数	3	1	3	3	7	2	6	a	6	$10$	b