广东省广州市增城区2023年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 实数2的倒数是（）．

A、2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 如图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 要使 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x ≥ 1$ B、 $x > 1$ C、 $x \geq 0$ D、 $x \leq 1$

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4. 已知 $⊙ O$ 的半径为5，当线段 $O A = 6$ 时，则点 $A$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、在圆上 B、在圆外 C、在圆内 D、不能确定

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 $2 a + 3 a = 5 a$ D、 $\frac{2}{a} + \frac{3}{a} = \frac{5}{2 a}$

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6. 已知 $A (0 ， y_{1})$ ， $B (3 ， y_{2})$ 为抛物线 $y = {(x - 2)}^{2}$ 上的两点，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、无法确定

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7. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $A D$ 的中点，若 $O E = 3$ ，则菱形 $A B C D$ 的边长是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出七钱，那么多了十一钱；如果每人出五钱，那么少了十三钱．问：共有几个人?”设有 $x$ 个人共同买兔，依题意可列方程为（）

A、 $5 (x - 11) = 7 (x + 13)$ B、 $5 (x + 11) = 7 (x - 13)$ C、 $7 x + 11 = 5 x - 13$ D、 $7 x - 11 = 5 x + 13$

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9. 如图，正方形 $M N P Q$ 内接于 $△ A B C$ ，点 $M$ 、 $N$ 在 $B C$ 上，点 $P$ 、 $Q$ 分别在 $A C$ 和 $A B$ 边上，且 $B C$ 边上的高 $A D = 6$ ， $B C = 12$ ，则正方形 $M N P Q$ 的边长为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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10. 如图，已知直线 $y = - \sqrt{3} x + 3$ 与 $x$ 轴交于点A，点 $B$ 与点A关于 $y$ 轴对称． $M$ 是直线上的动点，将 $O M$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $60 °$ 得 $O N$ ．连接 $B N$ ，则线段 $B N$ 的最小值为（）．

A、3 B、 $3 + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 - \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 如图，已知 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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12. 分解因式：a²+2a= ．

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13. 一只不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为．

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14. 已知圆锥的母线长为10，底面圆半径为5，则此圆锥的侧面积为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $∠ C = 75 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ 得到 $△ A D E$ ，若点 $C$ 恰好落在 $△ A D E$ 的边上，则 $α$ 的度数是．

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16. 如图，点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 外，连接 $A E$ 、 $B E$ 、 $D E$ ，过点A作 $A E$ 的垂线交 $D E$ 于点 $F$ ．若 $A E = A F = 4 \sqrt{2}$ ， $B F = 10$ ，则下列结论：
① $△ A F D ≌ △ A E B$ ；② $E B ⊥ E D$ ；③点B到直线 $A E$ 的距离为 $3 \sqrt{2}$ ；④ $S_{△ A B F} + S_{△ A D F} = 20$ ．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

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三、解答题

17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ 1 + 2 x < 7 \end{array}$

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18. 如图，点 $E$ 、 $F$ 在线段 $B C$ 上， $A B ∥ C D$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $B E = C F$ ．
求证： $△ A B E ≌ △ D C F$ ．

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19. 已知 $A = {(x + 2)}^{2} + (x + 1) (x - 1) - 3$

(1)、化简A；

(2)、若 $x^{2} + 2 x = 3$ ，求A的值．

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20. 近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天50名出行学生使用共享单车次数的情况，并整理如下统计表．
使用次数
1
2
3
4
5
人数
8
13
11
12
6

(1)、这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是，众数是；

(2)、这天中，这50名出行学生平均每人使用共享单车多少次？

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21. 如图，在直角坐标系中，已知点 $B$ (4，0)，等边三角形 $O A B$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上

(1)、求反比例函数的表达式．

(2)、把△ $O A B$ 向右平移 $a$ 个单位长度，对应得到△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ ，当这个函数图象经过△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ 一边的中点时，求 $a$ 的值．

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22. 某地区为打造乡村振兴示范区．实行大面积机械化种植，今年共计种植某作物700亩，预计租用10台作物收割机在一天之内完成该作物的收割。已知可租用A、B两种型号的作物收割机，2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收制该作物310亩，1台A型号收割机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩，租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用B型号收割机的租金为每天2000元．

(1)、两种型号收割机每台每天平均收割多少亩该作物?

(2)、设租用x台A型号的收割机，完成该作物的收割需要的总租金为y元，一共有多少种租赁方案，并求出最少的总租金．

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23. 已知 $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆， $⊙ O$ 的半径为6．

(1)、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点．
①尺规作图：作 $∠ A C B$ 的角平分线 $C D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ （保留作图痕迹，不写作法）：
②求 $B D$ 的长度．

(2)、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的非直径弦，点 $C$ 在 $\overset{⌢}{A B}$ 上运动， $∠ A C D = ∠ B C D = 60 °$ ，点 $C$ 在运动的过程中，四边形 $A D B C$ 的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

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24. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ；

(1)、如图1，已知 $∠ D = 30 °$ ，直接写出 $∠ A + ∠ C$ 的度数；

(2)、如图2，已知 $∠ A D C = 30 °$ ， $A D = 3$ ， $C D = 4$ ，连接 $B D$ ，求 $B D$ 的长度；

(3)、如图3，已知 $∠ A D C = 75 °$ ， $B D = 6$ ，请判断四边形 $A B C D$ 的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由．

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25. 综合与探究
已知抛物线 $C_{1} ： y = a x^{2} + b x - 5 (a \neq 0)$ ．

(1)、当抛物线经过 $(- 1 ， - 8)$ 和 $(1 ， 0)$ 两点时，求抛物线的函数表达式．

(2)、当 $b = 4 a$ 时，无论a为何值，直线 $y = m$ 与抛物线 $C_{1}$ 相交所得的线段 $A B$ （点A在点 B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段 $A B$ 的长．

(3)、在（2）的条件下，将抛物线 $C_{1}$ 沿直线 $y = m$ 翻折得到抛物线 $C_{2}$ ，抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由．

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使用次数	1	2	3	4	5
人数	8	13	11	12	6