广东省广州市荔湾区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（）

A、+40元 B、-40元 C、+20元 D、-20元

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2. 在平面直角坐标系中，将点 $(- 1 ， 3)$ 向右平移5个单位得到的点的坐标为（）

A、 $(- 1 ， - 2)$ B、 $(- 1 ， 8)$ C、 $(4 ， 3)$ D、 $(- 6 ， 3)$

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3. 一组数据2，3，4，2，5的众数和中位数分别是（）

A、2，2 B、2，3 C、2，4 D、5，4

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a + a^{2} = a^{3}$ B、 ${(- 3 a)}^{2} = 6 a^{2}$ C、 $4 \sqrt{a} - \sqrt{a} = 4$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$

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5. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 2 B C$ ，则 $c o s A$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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6. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（　　）

A、 ${\begin{array}{l} 3 (y - 2) = x \\ 2 y - 9 = x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 (y + 2) = x \\ 2 y + 9 = x \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 (y - 2) = x \\ 2 y + 9 = x \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 3 (y + 2) = x \\ 2 y - 9 = x \end{array}$

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7. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $55 °$ 得到 $△ A D E$ ，若 $∠ E = 75 °$ 且 $A D ⊥ B C$ 于点 $F$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $70 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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8. 如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，俯视图是直径为6的圆，则这个几何体的全面积是（）

A、 $24 π$ B、 $21 π$ C、 $15 π$ D、 $12 π$

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9. 如图，函数 $y = 2 x$ 和 $y = a x + 4$ 的图象相交于点 $A (m ， 3)$ ，则不等式 $2 x \geq a x + 4$ 的解集为（）

A、 $x \leq 3$ B、 $x \geq \frac{3}{2}$ C、 $x \geq 3$ D、 $x \leq \frac{3}{2}$

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10. 已知方程 $x^{2} - 2023 x + 1 = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} - \frac{2023}{x_{2}}$ 的值为（）．

A、1 B、2023 C、-1 D、-2023

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二、填空题

11. 计算： $| - 2 | + \sqrt[3]{8} =$ ．

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12. 分解因式：9a³﹣ab²= .

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13. 已知抛物线 $y = x^{2} - 6 x + m$ 与x轴仅有一个公共点，则m的值为．

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14. 已知直线 $y = - 2 x + 1$ 向下平移 $m (m > 0)$ 个单位后经过点 $（ 1 ， - 3 ）$ ，则 $m$ 的值为．

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15. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O P ⊥ O A$ 交 $A B$ 于点P，过点B的直线交 $O P$ 的延长线于点C，若 $C P = C B$ ， $O A = 3$ ， $O P = 1$ ，则 $B C$ 的长为．

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16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，CD是△ABC的中线，E是边BC上一动点，将△BED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于点G，当△DFG是直角三角形时，则CE=.

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三、解答题

17. 解不等式 $3 x - 4 < x$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = ∠ D$ ，连接 $A C$ ．求证： $△ A B C ≌ △ C D A$ ．

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19. 已知 $T = 4 n (n - 2 m) - {(m - 2 n)}^{2} + m^{2}$ ．

(1)、化简 $T$ ；

(2)、若 $m$ ， $n$ 是菱形 $A B C D$ 两条对角线的长，且该菱形的面积为 $3$ ，求 $T$ 的值．

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20. 北京冬奥会期间，学校为了解学生最喜欢的冰雪运动，从全校随机抽取了部分学生进行了问卷调查，每个被调查的学生从滑雪、滑冰、冰球、冰壶这4种冰雪运动中选择最喜欢的一项．该小组将调查数据进行整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．

(1)、这次调查中，一共调查了 ▲ 名学生，请补全条形统计图；

(2)、若全校有2600名学生，则估计该校最喜欢“滑冰”运动项目的有名学生；

(3)、已知选冰壶的4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，学校想要从这4名学生中随机抽取2名学生进行访谈．请用画树状图或列表法求抽到的2名学生来自不同年级的概率．

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21. 班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：

(1)、大巴与小车的平均速度各是多少？

(2)、苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？

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22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的顶点 $B ， C$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $A B = 8 ， B C = 6$ .对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $E$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像经过点 $E$ ，分别与 $A B ， C D$ 交于点 $F ， G$ .

(1)、若 $O C = 8$ ，求 $k$ 的值；

(2)、连接 $E G$ ，若 $B F - B E = 2$ ，求 $△ C E G$ 的面积.

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23. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(1)、尺规作图：过点B作 $A C$ 的平行线交 $A D$ 于点E，交 $⊙ O$ 于点F，连接 $A F$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、证明： $A F = B C$ ；

(3)、若 $⊙ O$ 的半径长为 $\frac{5}{2}$ ， $B C = 4$ ，求 $E F$ 和 $B F$ 的长．

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，连接 $D B$ ，总有 $∠ D B C = ∠ D A B + 60 °$ ．

(1)、求 $∠ A D B$ 的度数；

(2)、点F是线段 $C D$ 的中点，连接 $B F$ ．
①写出线段 $A D ， B D ， B F$ 之间的数量关系，并给出证明；
②延长 $A D ， B F$ 相交于点N，连接 $C N$ ，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求线段 $C N$ 长度的最小值．

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25. 已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 k x - k^{2} + 4$ 的顶点为 $H$ ，与 $y$ 轴交点为 $A$ ，点 $P (a ， b)$ 是抛物线上异于点H的一个动点．

(1)、若抛物线的对称轴为直线 $x = 1$ ，请用含 $a$ 的式子表示 $b$ ；

(2)、若 $a = 1$ ，作直线 $H P$ 交 $y$ 轴于点 $B$ ，当点 $A$ 在 $x$ 轴上方且在线段 $O B$ 上时，直接写出 $k$ 的取值范围；

(3)、在（1）的条件下，记抛物线与 $x$ 轴的右交点为 $C$ ， $O A$ 的中点为 $D$ ，作直线 $C D$ ，过点 $P$ 作 $P F ⊥ C D$ 于点 $E$ 并交 $x$ 轴于点 $F$ ，若 $a < 3$ ， $P E = 3 E F$ ，求 $a$ 的值．

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