安徽省合肥市包河区2023年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在-3， $- \frac{1}{2}$ ， 0，2这四个数中，比-2小的数是（）

A、-3 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、2

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2. 新的课程标准规定，学生在初中阶段课外阅读总量不少于260万字，每年阅读两、三篇名著．数据260万用科学记数法表示为（）

A、 $2.6 \times 1 0^{2}$ B、 $2.6 \times 1 0^{5}$ C、 $2.6 \times 1 0^{6}$ D、 $0.26 \times 1 0^{7}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a \div a = 2$ B、 $2 a \cdot 2 a = 2 a^{2}$ C、 $3 a - a = 2$ D、 ${(2 a)}^{2} = 2 a^{2}$

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4. 如图，该几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知， $A D ∥ B E$ ， $A B = B C$ ， $∠ D A C = 40 °$ ， $∠ C B E = 15 °$ ，则 $∠ B A C =$ （）

A、 $65 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $55 °$

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6. 随着国产芯片自主研发的突破，某种型号芯片的价格经过两次降价，由原来每片a元下降到每片b元，已知第一次下降了 $10 ％$ ，第二次下降了20%，则a与b满足的数量关系是（）

A、 $b = a (1 - 10 ％ - 20 ％)$ B、 $b = a (1 - 10 ％) (1 - 20 ％)$ C、 $a = b (1 + 10 ％ + 20 ％)$ D、 $a = b (1 + 10 ％) (1 + 20 ％)$

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7. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 10$ ， $B C = 12$ ，点E是 $C D$ 中点，连接 $A E$ ，作 $B F ⊥ A E$ 于F，则 $B F$ 的长为（）

A、 $\frac{60}{13}$ B、 $\frac{25}{6}$ C、 $\frac{65}{6}$ D、 $\frac{120}{13}$

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8. 如图，一个圆盘被平均分成A，B，C，D四个区域，向圆盘随机投掷飞镖，飞镖落在四个区域的机会均等，飞镖落在圆盘外的不计，连续两次投掷，落在同一区域的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{16}$

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9. 已知实数a，b满足： $a^{2} + a b = c$ ， $a b + b^{2} = c + 5$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $2 c + 5 \geq 0$ B、 $a^{2} - b^{2}$ 为定值 C、 $a \neq \pm b$ D、 $\frac{b}{a} > 1$

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10. 如图，已知线段 $A B = 6$ ，点P为线段 $A B$ 上一动点，以 $P B$ 为边作等边 $△ P B C$ ，以 $P C$ 为直角边， $∠ C P E$ 为直角，在 $△ P B C$ 同侧构造 $R t △ P C E$ ，点M为 $E C$ 的中点，连接 $A M$ ，则AM的最小值为（）

A、1 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、6

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二、填空题

11. 化简 $\sqrt[3]{64}$ 的结果是．

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12. 如图，点A是双曲线 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 于点B，作 $A C ⊥ x$ 轴于点C，连接 $B C$ ，若四边形 $O A B C$ 为平行四边形，则k的值是．

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13. 如图，点A，B，C是⊙ $O$ 的上点， $∠ A O B = 108 °$ ， $O A ∥ B C$ ，若⊙ $O$ 的半径为5，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长是．

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14. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} + 2 a (a > 0)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，抛物线的顶点坐标为；

(2)、直线 $x = m$ 与直线 $y = 2 x - 2$ 交于点P，与抛物线 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} + 2 a$ 交于点Q．若当 $m < 3$ 时， $P Q$ 的长度随m的增大而减小，则a的取值范围是．

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三、解答题

15. 计算： $| - 3 | + {(\frac{1}{2})}^{0} - \sqrt{8} \times \sqrt{2}$ ．

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16. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的 $△ A B C$ 和过点A的直线l．
⑴画出 $△ A B C$ 关于直线l对称的 $△ A D E$ ，使点B与D，C与E为对称点．
⑵以D为旋转中心，将 $△ A D E$ 顺时针旋转90°得到 $△ G F D$ ，使点E与F，A与G为对称点，画出 $△ G F D$ ，写出由 $△ A B C$ 通过一种变换得到 $△ G F D$ 的方法．

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17. 安徽省加快“县城通高速”步伐，实现了高速公路“县县通”，有力促进县域经济的发展．仅去年一年就通过新建或扩建开通的高速公路共519公里，其中新建高速公路的长度是扩建的2倍少45公里，求去年新建和扩建高速公路各多少公里？

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18. 观察以下等式：
第1个等式： $1 \times \frac{1 + 2}{2} - \frac{1}{2} = 1$ ，
第2个等式： $\frac{1}{2} \times \frac{4 + 4}{3} - \frac{1}{3} = 1$ ，
第3个等式： $\frac{1}{3} \times \frac{9 + 6}{4} - \frac{1}{4} = 1$ ，
第4个等式： $\frac{1}{4} \times \frac{16 + 8}{5} - \frac{1}{5} = 1$ ，
第5个等式： $\frac{1}{5} \times \frac{25 + 10}{6} - \frac{1}{6} = 1$ ，
……
按照以上规律．解决下列问题：

(1)、写出第6个等式：；

(2)、写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

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19. 数学测绘社团欲测算平台 $D B$ 上旗杆的拉绳 $A C$ 的长．从旗杆 $A B$ 的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡 $C D$ 的底部C重合，此时拉绳 $A C$ 与水平线 $C N$ 所成的夹角 $∠ A C N = 53 °$ ，已知斜坡 $C D$ 的高 $D N = 4$ 米，坡比为 $1 ： 2.5$ （即 $D N ： C N = 1 ： 2.5$ ）， $D B = 6$ 米，求拉绳 $A C$ 的长．（结果保留1位小数，参考数据： $s i n 53 ° \approx 0.80$ ， $c o s 53 ° \approx 0.60$ ， $t a n 53 ° \approx 1.33$ ）

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20. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $A B ⊥ C D$ 于点M，连接 $O D$ ．

(1)、若 $∠ O D B = 54 °$ ，求 $∠ B A C$ 的度数；

(2)、 $A C$ ， $D B$ 的延长线相交于点F， $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线，交 $B F$ 于点E，若 $C E ⊥ D F$ ，求证： $A C = C D$ ．

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21. 某校为了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了部分学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表和条形统计图：
组别
“劳动时间”t/分钟
频数
频率
组内学生的平均“劳动时间”1分钟
A
$t < 60$
4
0.1
50
B
$60 \leq t < 90$
a
b
75
C
$90 \leq t < 120$
c
0.4
105
D
$t \geq 120$
14
d
150
根据上述信息，解答下列问题：

(1)、 $c =$ ▲ ， $d =$ ▲ ，并补全条形统计图；

(2)、被调查学生的“劳动时间”的中位数落在 ▲ 组，并求出这些学生的平均“劳动时间”；

(3)、若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．

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22. 某快餐店给顾客提供A，B两种套餐．套餐A每份利润8元，每天能卖90份；套餐B每份利润10元，每天能卖70份．若每份套餐A价格提高1元，每天少卖出4份；每份套餐B价格提高1元，每天少卖出2份．（注：两种套餐的成本不变）

(1)、若每份套餐价格提高了x元，求销售套餐A，B每天的总利润 $w_{A}$ 元， $w_{B}$ 元与x之间的函数关系式；

(2)、物件部门规定这两种套餐提高的价格之和为10元，问套餐A提高多少元时，这两种套餐每天利润之和最大？

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23. 如图1， $A B = A C = 2 C D$ ， $D C ∥ A B$ ，将 $△ A C D$ 绕点 $C$ 逆时针旋转得到 $△ F C E$ ，使点 $D$ 落在 $A C$ 的点 $E$ 处， $A B$ 与 $C F$ 相交于点 $O$ ， $A B$ 与 $E F$ 相交于点 $G$ ，连接 $B F$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C A D$ ；

(2)、求证： $A C ∥ F B$ ；

(3)、若点 $D$ ， $E$ ， $F$ 在同一条直线上，如图2，求 $\frac{A B}{B C}$ 的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）

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组别	“劳动时间”t/分钟	频数	频率	组内学生的平均“劳动时间”1分钟
A	$t < 60$	4	0.1	50
B	$60 \leq t < 90$	a	b	75
C	$90 \leq t < 120$	c	0.4	105
D	$t \geq 120$	14	d	150