安徽省合肥市瑶海区2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2023-04-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列的式子中是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{- 1}$ B、 $\sqrt{3 - π}$ C、 $\sqrt[3]{8}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 1$ B、 $a x^{2} + b x + c = 0$ （a，b，c均为常数） C、 $x (3 x + 2) = 5$ D、 ${(2 x + 1)}^{2} = 4 x^{2} - 3$

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3. 若关于x的一元二次方程为 $a x^{2} + b x + 5 = 0 (a \neq 0)$ 的解是 $x = 1$ ，则 $2018 - a - b$ 的值是（）

A、2023 B、2013 C、2022 D、2012

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{8} = \sqrt[4]{2}$ D、 $\sqrt{4} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$

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5. 用配方法解方程 $2 x^{2} - x - 1 = 0$ 时．变形结果正确的是（）

A、 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$ B、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$ C、 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{17}{16}$ D、 ${(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{3}{4}$

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6. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的 $\frac{16}{25}$ ，则每次降价的平均百分比是（）

A、10% B、20% C、15% D、25%

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8. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ 的根的情况是（　　）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法判断

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9. 如图已知 $△ A B C$ 中， $A B = 5 c m$ ， $B C = 26 c m$ ， $B C$ 边上的中线 $A D = 12 c m$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（） $c m^{2}$ ．

A、30 B、130 C、60 D、120

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10. 在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，两直角边长及斜边上的高分别为 $a ， b ， h$ ，则下列关系式成立的是（）

A、 $\frac{2}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}} = \frac{1}{h^{2}}$ B、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{h^{2}}$ C、 $h^{2} = a b$ D、 $h^{2} = a^{2} + b^{2}$

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二、填空题

11. 若二次根式 $\sqrt{3 - x}$ 有意义，则 x 的取值范围是．

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12. 探索一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ 的一个正数解的过程如表：
x
$- 1$
0
1
2
3
4
$x^{2} + 3 x - 5$
$- 7$
$- 5$
$- 1$
5
13
23
可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间， $a + b$ 的值为．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”若 $A C = B C$ ，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，则图中所得两个月形图案 $A F C D$ 和 $B G C E$ （图中阴影部分）的面积之和等于．

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14. 关于x的方程 $a {(x + k)}^{2} + 2023 = 0$ 的解是 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ （a、k、b均为常数， $a \neq 0$ ）
问题：

(1)、关于x的方程 $a {(x + k + 2)}^{2} + 2023 = 0$ 的根是；

(2)、关于x的方程 $a {(x - k + 2)}^{2} + 2023 = 0$ 的根为．

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三、解答题

15. 计算： $2 \sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + 3 \sqrt{48}$ .

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16. 解方程： $x^{2} - 10 x + 22 = 0$

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17. 已知关于x的一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - m = 0$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求方程的根；

(2)、如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A C = 8 c m$ ， $B C = 17 c m$ ，在顶点C处有一只蜗牛M，以 $1 c m / s$ 的速度沿 $C A$ 方向爬行，顶点A处有一只蚂蚁N，以 $4 c m / s$ 的速度沿 $A B$ 方向爬行，两个小家伙同时出发，若它们都爬行3s．求：

(1)、 $A B$ 的长；

(2)、 $M N$ 的长．

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19. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 三边的长分别为 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{10}$ ， $\sqrt{13}$ ，如图①是小辉同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点 $△ A B C$ （ $△ A B C$ 的三个顶点都在正方形的顶点处）．

(1)、请你参照小辉的方法在图②的正方形网格图中画出格点 $△ D E F$ ，使得 $D E$ ， $E F$ ， $D F$ 三边的长分别为 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{8}$ ， $\sqrt{10}$ ；

(2)、判断 $△ D E F$ 的形状，说明理由；

(3)、求 $△ D E F$ 的面积．

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20. $△ A B C$ 中， $A B = 20$ ， $A C = 13$ ， $B C$ 上的高为12，求 $B C$ 的长．

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21. 阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（Ⅰ） $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) \times (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ ．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（Ⅱ） $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{（ \sqrt{3} ）^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{（ \sqrt{3} + 1 ） \times （ \sqrt{3} - 1 ）}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ ．

(1)、请用不同的方法化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ．
①参照（Ⅰ）式，化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；
②参照（Ⅱ）式，化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2019}} + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2021}}$

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22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

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23. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为6²+8²＝4×5²＝100，所以这个三角形是常态三角形．

(1)、若 $△$ ABC三边长分别是3，2 $\sqrt{5}$ 和4，则此三角形常态三角形（填“是”或“不是”）；

(2)、若Rt $△$ ABC是常态三角形，求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）；

(3)、如图，Rt $△$ ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AD＝DB＝DC，若 $△$ BCD是常态三角形，求 $△$ ABC的面积．

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x	$- 1$	0	1	2	3	4
$x^{2} + 3 x - 5$	$- 7$	$- 5$	$- 1$	5	13	23