山东省青岛市西海岸新区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 近年来，我国能源保供稳价政策有力推进．其中2022年1—11月份，我国生产原煤40.9亿吨.40.9亿用科学记数法表示为（）

A、 $40.9 \times 1 0^{8}$ B、 $4.09 \times 1 0^{9}$ C、 $4.09 \times 1 0^{8}$ D、 $0.409 \times 1 0^{10}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、-（2x²）³＝8x⁶ B、x⁵÷x²＝x³ C、3x²×2x³＝6x⁶ D、 $\frac{1}{4} \times 4^{0} = 1$

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4. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（）

A、9.6 B、4 $\sqrt{5}$ C、5 $\sqrt{3}$ D、10

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6. 某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，则这个队队员年龄的众数和中位数分别（）

年龄（岁）

14

15

16

17

18

人数（人）

1

4

3

2

2

A、15，16 B、15，15 C、15，15.5 D、16，15

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7. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB= $2 \sqrt{3}$ ， ∠C=120°，则点B′的坐标为（）

A、（3， $\sqrt{3}$ ） B、（3，- $\sqrt{3}$ ） C、（ $\sqrt{6}$ ， $\sqrt{6}$ ） D、（ $\sqrt{6}$ ， - $\sqrt{6}$ ）

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8. 如图，是抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线 $y_{2} = m x + n$ （ $m \neq 0$ ）与抛物线交于A，B两点，下列结论：① $2 a + b = 0$ ； ②抛物线与x轴的另一个交点是（ $- 2$ ，0）；③方程 $a x^{2} + b x + c = 3$ 有两个相等的实数根；④当时 $1 < x < 4$ ，有 $y_{2} < y_{1}$ ；⑤若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x^{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ；则 $x_{1} + x_{2} = 1$ .则命题正确的个数为（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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二、填空题

9. 若 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ ，则 $\frac{2 x - y + 3 z}{x + y - z}$ ＝．

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10. 某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，则该品牌饮料一箱有瓶.

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11. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点.将∠A，∠B，∠C按如图所示的方式向内翻折，EQ，EF，DF为折痕.若A，B，C恰好都落在同一点P上，AE＝1，则ED＝.

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12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象交 $B C$ 于点D，交 $A B$ 于点E．若 $B D = 2 C D$ ， $S_{四边形 O D B E} = 6$ ，则 $k$ 的值为．

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13. 如图，在扇形AOB中，点C在线段OB上，连接AC，将△AOC沿AC所在直线翻折，使得点O的对应点D恰好落在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，若OA=2，则图中阴影部分的面积为．

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14. 如图，在 $x$ 轴的正半轴上依次截取 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = A_{3} A_{4} = A_{4} A_{5}$ ，过点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ， $A_{5}$ 分别作 $x$ 轴的垂线与反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x \neq 0)$ 的图像相交于点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ， $P_{5}$ ，得直角三角形 $O P_{1} A_{1}$ ， $A_{1} P_{2} A_{2}$ ， $A_{2} P_{3} A_{3}$ ， $A_{3} P_{4} A_{4}$ ， $A_{4} P_{5} A_{5}$ ，并设其面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ， $S_{5}$ ，则 $S_{2022} =$ ．

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三、解答题

15. 已知： $∠ O$ 及其一边上的两点A，B．求作：平行四边形 $A B C D$ ，使点C到 $∠ O$ 两边的距离相等．

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16. 计算：

(1)、化简： $(1 - \frac{2}{a - 2}) \div \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 - a^{2}}$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 3 (x - 2) \leq 4 \\ \frac{1 + 2 x}{3} > x - 1 \end{array}$ ，并写出它的最大整数解．

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17. 为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组： $75 \leq x < 80$ ， B组： $80 \leq x < 85$ ， C组： $85 \leq x < 90$ ， D组： $90 \leq x < 95$ ， E组： $95 \leq x < 100$ ，并绘制了如下不完整的统计图．

(1)、本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，频数分布直方图中 $m =$ ，扇形统计图中A组占 $%$ ；

(2)、补全学生成绩频数分布直方图；

(3)、若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，求优秀学生所在扇形对应圆心角的度数．

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18. 圆周率 $π$ 是无限不循环小数.历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对 $π$ 有过深入的研究.目前，超级计算机已计算出 $π$ 的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现，随着 $π$ 小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同.

(1)、从 $π$ 的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为；

(2)、某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率.（用画树状图或列表方法求解）

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19. 重庆市某校数学兴趣小组在水库某段 $C D$ 的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的 $C$ 处测得水库右岸 $D$ 处某标志物 $D E$ 顶端的仰角为 $α$ ．在 $C$ 处一架无人飞机以北偏西 $90 ° - β$ 方向飞行 $100 \sqrt{5}$ 米到达点 $A$ 处，无人机沿水平线 $A F$ 方向继续飞行30米至 $B$ 处，测得正前方水库右岸 $D$ 处的俯角为 $30 °$ ．线段 $A M$ 的长为无人机距地面的铅直高度，点 $M$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一条直线上．

(1)、求无人机的飞行高度 $A M$ ；

(2)、求标志物 $D E$ 的高度．（结果精确到0.1米）
（已知数据： $s i n α = \frac{3}{5}$ ， $c o s α = \frac{4}{5}$ ， $t a n α = \frac{3}{4}$ ， $s i n β = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $c o s β = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $t a n β = 2$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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20. 在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元.

(1)、采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？

(2)、规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值.

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21. 【探究函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象与性质】

(1)、函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的自变量x的取值范围是；

(2)、下列四个函数图象中，函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象大致是；

(3)、对于函数 $y = x + \frac{1}{x}$ ，求当 $x > 0$ 时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵ $x > 0$ ， ∴ $y = x + \frac{1}{x}$ $= {(\sqrt{x})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}$ $= {(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} +$ ．
∵ ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $y \geq$ ．

(4)、【拓展说明】
若函数 $y = \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x} (x > 0)$ ，求y的取值范围．

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22. 如图，点C是 $B E$ 的中点，四边形 $A B C D$ 是平行四边形.

(1)、求证：四边形 $A C E D$ 是平行四边形；

(2)、如果 $A B = A E$ ，求证：四边形 $A C E D$ 是矩形.

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23. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B (0 ， 2)$ ．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、 $D$ 为线段 $A B$ 上一点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），过点 $D$ 作 $D E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，交抛物线于点 $F$ ，若 $D E = D F$ ，求点 $D$ 的坐标．

(3)、 $P$ 是第四象限内抛物线上一点，已知 $∠ P B A = ∠ B A O$ ，则点 $P$ 的坐标为．

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24. 某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线 $A - B - C$ 表示墙面，已知 $A B ⊥ B C$ ， $A B = 3$ 米， $B C = 9$ 米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场 $B D E F$ （细线表示篱笆，饲养场中间 $G H$ 也是用篱笆隔开），如图，点 $F$ 可能在线段 $B C$ 上，也可能在线段 $B C$ 的延长线上.

(1)、当点 $F$ 在线段 $B C$ 上时，
①设 $E F$ 的长为 $x$ 米，则 $D E =$ ▲ 米（用含 $x$ 的代数式表示）；

②若要求所围成的饲养场 $B D E F$ 的面积为66平方米，求饲养场的宽 $E F$ ；

(2)、饲养场的宽 $E F$ 为多少米时，饲养场 $B D E F$ 的面积最大？最大面积为多少平方米？

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25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A O B C$ 的其中两边分别在坐标轴上，它的两条对角线交于点E，其中 $O A = 6 c m$ ， $O B = 8 c m$ ，动点M从点C出发，以 $1 c m / s$ 的速度在 $C B$ 上向点B运动，动点N同时从点B出发，以 $2 c m / s$ 的速度在 $B O$ 上向点O运动．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设它们运动时间是 $t s$ ．

(1)、请直接写出 $B M ， B N$ 的长度；

(2)、当t为何值时， $△ M N B$ 与 $△ O B C$ 相似；

(3)、记 $△ M N E$ 的面积为S，求出S与t的函数表达式，并求出S的最小值及此时t的值．

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年龄（岁）	14	15	16	17	18
人数（人）	1	4	3	2	2