辽宁省鞍山市立山区2023年九年级中考二模数学试题

试卷更新日期：2023-04-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 四个相同的小正方形组成的立体图形如图所示，它的主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若关于x的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} + x + m^{2} - 4 = 0$ 的一个根为0，则m的值为（）

A、-2 B、0 C、2 D、-2或2

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3. 如图，在 $4 \times 5$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， $△ A B C$ 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么 $\sin ∠ A C B$ 的值为（）．

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 如图，电路图上有 $4$ 个开关 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 和 $1$ 个小灯泡，同时闭合开关 $A$ 、 $B$ 或同时闭合开关 $C$ 、 $D$ 都可以使小灯泡发光.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）

A、只闭合1个开关 B、只闭合2个开关 C、只闭合3个开关 D、闭合4个开关

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5. 如图，已知点C，D是以 $A B$ 为直径的半圆O的三等分点，弧 $\overset{⌢}{C D}$ 的长为 $\frac{1}{3} π$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{1}{6} π$ B、 $\frac{3}{16} π$ C、 $\frac{1}{24} π$ D、 $\frac{1}{12} π + \frac{\sqrt{3}}{4}$

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6. 如图，点A是反比例函数y $= \frac{6}{x}$ （x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ 的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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7. 如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为 $4 ： 7$ ，且三角板的一边长为 $8 c m$ ．则投影三角板的对应边长为（）

A、 $20 c m$ B、 $14 c m$ C、 $8 c m$ D、 $3.2 c m$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，动点P ， Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P ， Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接 $P Q$ ．设点P的运动路程为x ， $P Q^{2}$ 为y ，则y关于x的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 目前以 $5 G$ 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有 $5 G$ 用户2万户，计划到2023年底全市 $5 G$ 用户数累计达到8.72万户．设全市 $5 G$ 用户数年平均增长率为 $x$ ，则根据题意可列方程为．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 108 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ．若点 $B^{'}$ 恰好落在 $B C$ 边上，且 $A B^{'} = C B^{'}$ ，则 $∠ C^{'}$ 的度数为．

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11. 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x²+ax+4的图象上，则m-n的最大值为.

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12. 如图，圆锥的母线 $A C = 8 c m$ ，侧面展开图是半圆，则底面半径 $O C =$ ．

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13. 一个不透明的箱子里装有 $m$ 个球，其中红球有3个，这些球除颜色外都相同，每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出 $m$ 的值为．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 12 ， A D = 9$ ，点 $E$ 是边 $B C$ 上一点，连接 $A E ， B D$ 相交于点 $F$ ，连接 $D E$ ，若 $s i n ∠ D E C = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $B F =$ ．

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15. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过 $△ A B C$ 的顶点 $A$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴负半轴，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴， $A C$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ， $A B$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若 $\frac{C D}{A D} = \frac{A E}{E B} = \frac{2}{3}$ ， $S_{△ A B C} = 10$ ．则 $k =$ ．

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16. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， ⋯$ 在 $x$ 轴正半轴上且横坐标分别为2，4，6，…，过 $A_{1}$ 作 $A_{1} C_{1} ⊥ x$ 轴交直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 于点 $C_{1}$ ，连接 $O C_{1}$ ， $A_{1} C$ ，且 $O C_{1} ， A_{1} C$ 交于点 $P_{1}$ ；过 $A_{2}$ 作 $A_{2} C_{2} ⊥ x$ 轴交直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 于点 $C_{2}$ ，连接 $A_{1} C_{2}$ ， $A_{2} C_{1}$ ，且 $A_{1} C_{2} ， A_{2} C_{1}$ 交于点 $P_{2}$ ；…按照此规律进行下去，则 $P_{n}$ 的纵坐标为．

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三、解答题

17. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + \frac{1}{2} k^{2} - 2 = 0$ .

(1)、求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} - x_{2} = 3$ ，求k的值.

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18. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $O$ 是 $A C$ 边上一点，连接 $B O$ 交 $A D$ 于 $F$ ， $O E ⊥ O B$ 交 $B C$ 边于点 $E$ ．求证： $Δ A B F ∼ Δ C O E$ ．

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19. 如图，一次函数 $y = - 2 x + 10$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象相交于 $A ， B$ 两点（A在 $B$ 的右侧）．

(1)、若 $A (3 ， m)$ ，求反比例函数解析式；

(2)、连接 $A O$ 并延长交反比例函数图象的另一分支于点 $C$ ，连接 $B C$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，若 $\frac{B C}{B D} = \frac{5}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 小红的爸爸积极参加社区志愿服务工作．根据社区安排，志愿者被随机分到 $A$ 组（清除小广告）、 $B$ 组（便民代购）和 $C$ 组（环境消杀）．

(1)、小红爸爸被分到 $B$ 组的概率是；

(2)、某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求他和小红的爸爸被分到同一组的概率．

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21. 如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°．居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）

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22. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、更便捷．为此，李老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校九年级（1）班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)、这次参与调查的共有人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、如果该校有6000人在使用手机，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数．

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23. 如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD.

(1)、求证：CD是⊙O的切线.

(2)、若tan∠BED= $\frac{2}{3}$ ， AC=9，求⊙O的半径.

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24. 某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为y元．

(1)、用含x的代数式表示：每件商品的销售价为元，每件商品的利润为元，每周的商品销售量为件；

(2)、求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

(3)、应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？

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25. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ，点 $D ， E$ 分别是 $A C ， B C$ 的中点，点 $P$ 是射线 $D E$ 上一点，连接 $A P$ ，将线段 $P A$ 绕点 $P$ 顺时针旋转90°得到线段 $P M$ ，连接 $A M ， C M$ ．

(1)、如图①，当点 $P$ 与点 $D$ 重合时，线段 $C M$ 与 $P E$ 的数量关系是， $∠ A C M =$ °；

(2)、如图②当点 $P$ 在射线 $D E$ 上运动时（不与点 $D ， E$ 重合），求 $\frac{P E}{C M}$ 的值；

(3)、连接 $P C$ ，当 $Δ P C M$ 是等边三角形时，请直接写出 $\frac{A C}{C M}$ 的值．

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26. 如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，直线 $y = - x + 3$ 恰好经过 $A ， C$ 两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $D$ 是抛物线上一动点，连接 $C D ， A D$ ，若 $Δ A C D$ 的面积为6，求点 $D$ 的坐标；

(3)、点 $E$ 是抛物线上一动点，连接 $B E$ ，若 $∠ A B E = 2 ∠ A C B$ ，直接写出点 $E$ 的坐标．

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