江西省赣北学考联盟2023年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-04-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2023的倒数是（）

A、2023 B、 $\frac{1}{2023}$ C、-2023 D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $4 x - 2 x = 2$ B、 $x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2}$ C、 $x^{3} \cdot x^{2} = x^{6}$ D、 $x^{3} \div x^{2} = x$

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3. 如图所示，将一个正方体切去一个角，则所得几何体的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列说法正确的是（）

A、为了加强“五项管理”，要了解某市中学生的睡眠时间，采用全面调查 B、打开电视机，它正在播广告是必然事件 C、一组数据“5，4，6，2，7，4，3”的众数是4，中位数是2 D、甲、乙两名同学5次数学测试的平均数都是92分，方差分别为 ${S_{甲}}^{2} = 0.8$ ， ${S_{乙}}^{2} = 1.2$ ，由此可以判断甲的数学成绩比乙的稳定

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5. 两个直角三角板如图摆放，其中 $∠ B A C = ∠ E D F = 90 °$ ， $∠ E = 45 °$ ， $∠ C = 30 °$ ， AB与DF交于点M．若 $B C / / E F$ ，则 $∠ B M D$ 的大小为（）

A、 $60 °$ B、 $67.5 °$ C、 $75 °$ D、 $82.5 °$

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的对称轴为直线 $x = - 1$ ，与 $x$ 轴的一个交点在 $(- 3 ， 0)$ 和 $(- 2 ， 0)$ 之间，其部分图象如图所示，则下列结论：（1） $a b c > 0$ ；（2） $2 a - b = 0$ ；（3） $b^{2} - 4 a c > 0$ ；（4） $a + b + c > 0$ ；（5）点 $(- \frac{7}{2} ， y_{1})$ ， $(- \frac{3}{2} ， y_{2})$ ， $(\frac{5}{4} ， y_{3})$ 是该抛物线上的点，则 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ；其中正确结论的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

7. 在实数范围内分解因式：xy²﹣4x＝.

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8. 甲型H1N1流感病毒的直径约是0.00000011米，用科学记数法表示为米.

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9. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 的两根，则 $x_{1}^{2} + 2 x_{1} - x_{2}$ 的值为．

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10. 《孙子算经》有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸．问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹笨不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五．同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸．请你算一算竹竿的长度是尺．（1丈等于10尺，1尺等于10寸）

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11. 如图，等腰三角形 $A B C$ 的底边 $B C$ 长为4，面积是20，腰 $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A C$ ， $A B$ 边于 $E$ ， $F$ 点．若点 $D$ 为 $B C$ 边的中点，点 $M$ 为线段 $E F$ 上一动点，则 $△ C D M$ 周长的最小值为．

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12. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B = 2 ∠ A$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ ， $A B$ 的中点，动点 $P$ 从 $B$ 出发，沿着顺时针方向运动到 $C$ 点，当 $△ P E F$ 为直角三角形时， $B P$ 的长度为．

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三、解答题

13.

(1)、计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 2} - | 2 - \sqrt{2} | - \sqrt{2} + {(2023 - π)}^{0} + 4 c o s 45 °$

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} 5 - \frac{1}{2} x \leq 3 & ① \\ 3 x - 2 \geq 1 & ② \end{array}$

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14. 先化简再求值： $(a + 2 - \frac{5}{a - 2}) \div \frac{a^{2} + 6 a + 9}{a - 2}$ ，其 $a$ 从 $- 2$ ， 2， $- 3$ ， 3中选一个合适的数代入求值．

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15. “垃圾分类”进校园，锦江教育出实招.锦江区编写小学生《垃圾分类校本实施指导手册》，给同学们介绍垃圾分类科学知识，要求大家将垃圾按A，B，C，D四类分别装袋投放.其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾.小明和小亮各有一袋垃圾，需投放到小区如图所示的垃圾桶.

(1)、“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是.（请将正确答案的序号填写在横线上）
①必然事件            ②不可能事件            ③随机事件

(2)、请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同类垃圾的概率.
A.有害垃圾                 B.厨余垃圾

C.可回收垃圾             D.其他垃圾

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $B C ∥ A D$ ， $B C = 2 A D$ ， $A B = C D$ ，请用无刻度的直尺按要求画图（不写做法，保留作图痕迹）．

(1)、在图1中，画出 $B C$ 的中点 $E$ ．

(2)、在图2中，画出 $A B$ 的中点 $F$ ．

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17. 某公司计划购进多种优质特产水果加工成水果套餐进行销售，以3万元/吨的价格买入，包装后直接销售，它的平均销售价格 $y$ （单位：万元/吨）是销售数量 $x$ （ $2 \leq x \leq 10$ ，单位：吨）的一次函数，并且当 $x = 2$ 时 $y = 12$ ，当 $x = 8$ 时 $y = 9$ ，已知包装费用为1万元/吨．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、当销售数量为多少时，该经营这批套餐所获得的毛利润（ $w$ ）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入－进价总成本－包装总费用）

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18. 如图，已知一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象分别交于 $C$ 、 $D$ 两点，点 $D (2 ， - 4)$ ，点 $B$ 是线段 $A D$ 的中点．

(1)、求一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 的解析式；

(2)、求 $△ C O D$ 的面积；

(3)、直接写出 $y_{1} > y_{2}$ 时自变量 $x$ 的取值范围．

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19. 某校为了七、八、九年级学生对“创建文明城市”知识的掌握情况，从七、八、九年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．九年级成绩频数分布直方图
b．九年级成绩在 70≤x＜80 这一组的是：71 73 74 74 75 75 76 76 76 77 78
c．七、八、九年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
75.9
77
八
77.2
78.5
九
77.5
$m$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、在这次测试中，九年级在70分以上（含70分）的有人；

(2)、表中 $m$ 的值为；

(3)、在这次测试中，七年级学生甲、八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

(4)、该校九年级学生有450人，假设全部参加此次测试，请估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数．

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20. 如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知OA=BD=40cm，OD=120cm， $∠ A B C = 75 °$ ．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73， $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

(1)、求支架顶点A到地面BC的距离；

(2)、如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $B C$ ， $A C$ 交于点 $D$ ， $E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ A C$ ，垂足为点 $F$ ．

(1)、求证：直线 $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $C D^{2} = C F \cdot A C$ ；

(3)、若 $⊙ O$ 的半径为8， $∠ C D F = 22.5 °$ ，求扇形 $O B D$ （阴影部分）的周长（结果保留 $π$ ）．

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22. 如图所示，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过A、 $B$ 两点，A、 $B$ 两点的坐标分别为 $(- 1 ， 0)$ ， $(0 ， - 3)$ ．点 $E$ 为抛物线的顶点，点 $C$ 为抛物线与 $x$ 轴的另一交点．

(1)、求 $E$ 点坐标；

(2)、 $M$ 是抛物线在第四象限部分的一个动点，求四边形 $O B M C$ 面积的最大值；

(3)、若 $D$ 坐标为 $(0 ， - 1)$ ，在直线 $D E$ 上存在点 $P$ ，使得以 $C$ 、 $D$ 、 $P$ 为顶点的三角形与 $△ D O C$ 相似，请你直接写出所有满足条件的点 $P$ 的坐标．

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23. 【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果 $\frac{B C}{A C} = \frac{A C}{A B}$ ，那么称点 $C$ 为线段 $A B$ 的黄金分割点．

(1)、【问题发现】如图1，请直接写出 $C B$ 与 $A C$ 的比值是；

(2)、【尺规作黄金分割点】如图2，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $A C = 2$ ，则 $A B =$ ，在 $B A$ 上截取 $B D = B C$ ，则 $A D =$ ，在 $A C$ 上截取 $A E = A D$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值为；

(3)、【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 $A B D E$ 得折痕 $M N$ ，连接 $E N$ ，点 $A$ 对应点 $H$ ，得折痕 $C E$ ，试说明： $C$ 是 $A B$ 的黄金分割点；

(4)、【拓展延伸】如图4，正方形 $A B C D$ 中， $M$ 为对角线 $B D$ 上一点，点 $N$ 在边 $C D$ 上，且 $C N < D N$ ，当 $N$ 为 $C D$ 的黄金分割点时， $∠ A M B = ∠ A N B$ ，连 $N M$ ，延长 $N M$ 交 $A D$ 于 $E$ ，请用相似的知识求出 $A E ： D E$ 的值为．

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年级	平均数	中位数
七	75.9	77
八	77.2	78.5
九	77.5	$m$