吉林省长春市宽城区2023年五校中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 5的相反数是（）

A、 -5 B、5 C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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2. 截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球277000000千米；277000000用科学记数法表示为（）

A、 $277 \times 1 0^{6}$ B、 $2.77 \times 1 0^{7}$ C、 $2.8 \times 1 0^{8}$ D、 $2.77 \times 1 0^{8}$

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3. 下图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则实数m的值为（）

A、-4 B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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5. 如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米， $∠ P Q T = α$ ，则河宽PT的长度是（）

A、 $m s i n α$ B、 $m c o s α$ C、 $m t a n α$ D、 $\frac{m}{t a n α}$

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6. 如图， $O A ， O B$ 是 $⊙ O$ 的两条半径，点C在 $⊙ O$ 上，若 $∠ A O B = 80 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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7. 用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} - 4 x + 1$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，过点 $A$ 平行于 $x$ 轴的直线交抛物线 $y = x^{2}$ 于 $B$ 、 $C$ 两点，点 $P$ 在抛物线 $y = - x^{2} - 4 x + 1$ 上且在 $x$ 轴的上方，连接 $P B$ ， $P C$ 则 $△ P B C$ 面积的最大值是（）

A、5 B、4.5 C、6 D、4

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二、填空题

9. 分解因式： $x y^{2} - x =$ ．

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10. 不等式 $\frac{x - 3}{2} \geq 1$ 的解集为．

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11. 如图将 $▱ A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠，使点 $A$ 落在 $E$ 处，若 $∠ 1 = 5 6^{o}$ ， $∠ 2 = 42 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为．

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12. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 4$ ，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上（点 $C$ 不与 $A$ 、 $B$ 重合），过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点 $D$ ，连结 $A C$ ．若 $∠ D = 45 °$ ，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的长度是．（结果保留 $π$ ）

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13. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点A，B的坐标分别是 $A (0 ， 2)$ ， $B (2 ， - 1)$ ．平移 $△ A B C$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，若点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，则点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标是．

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14. 如图， $▱ O A B C$ 的顶点 $O$ 是坐标原点， $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $B$ ， $C$ 在第一象限，反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图像经过点 $C$ ， $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图像经过点 $B$ ．若 $O C = A C$ ，则 $k =$ ．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $(a + 2) (a - 2) + a (1 - a)$ ，其中 $a = \sqrt{5} + 4$ ．

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16. 一个不透明的口袋中装有2个黄球、1个白球，每个小球除颜色不同外其余均相同．从口袋中随机摸出1个小球，记下颜色后放回并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的球至少有一个白球的概率．

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17. 某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件？

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $A D$ 是圆 $O$ 的直径， $A D$ ， $B C$ 的延长线交于点 $E$ ，延长 $C B$ 交 $P A$ 于点 $P$ ， $∠ B A P + ∠ D C E = 90 °$ ．

(1)、求证： $P A$ 是圆 $O$ 的切线；

(2)、连接 $A C$ ， $s i n ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ， $B C = 2$ ， $A D$ 的长为．

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19. 某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用 $x$ 表示： $90 \leq x \leq 100$ 为网络安全意识非常强， $80 \leq x \leq 90$ 为网络安全意识强， $x < 80$ 为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：

平均数
中位数
众数
甲组
$a$
80
80
乙组
83
$b$
$c$
根据以上信息回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、已知该校八年级有1000人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少人？

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20. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点满足下列要求：

(1)、在图①中，作格点 $M$ ，并连结 $M A$ 、 $M B$ 、 $M C$ ，使 $M A = M B = M C$ ．

(2)、在图②中，作格点 $N$ ，并连结 $N A$ 、 $N C$ 使 $∠ A N C + ∠ A B C = 18 0^{o}$ ．

(3)、在图③中，作格点 $P$ ，并连结 $P A$ 、 $P C$ ，使 $∠ A P C = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ．

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21. 果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树 $x$ （ $x > 0$ 且 $x$ 为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为 $y$ kg，它们之间的函数关系满足如图所示的图像．

(1)、每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少kg；

(2)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并直接写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、当增种果树多少棵时，果园的总产量 $w$ （kg）最大？最大产量是多少？

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22. 如图

(1)、如图， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是等腰直角三角形， $∠ A O B = ∠ C O D = 9 0^{o}$ ，点 $C$ 在 $O A$ 上，点 $D$ 在线段 $B O$ 延长线上，连接 $A D$ ， $B C$ ．线段 $A D$ 与 $B C$ 的数量关系为．

(2)、如图2，将图1中的 $△ C O D$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $α (0^{∘} < α < 9 0^{∘})$ 第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．

(3)、如图3，若 $A B = 8$ ，点 $C$ 是线段 $A B$ 外一动点， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，连接 $B C$ ，若将 $C B$ 绕点 $C$ 逆时针旋转90°得到 $C D$ ，连接 $A D$ ，则 $A D$ 的最大值是．

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23. 如图， $B D$ 是 $▱ A B C D$ 的对角线， $A B ⊥ B D$ ， $B D = 8 c m$ ， $A D = 10 c m$ ．动点 $P$ 从点 $D$ 出发，以 $5 c m / s$ 的速度沿 $D A$ 运动到终点 $A$ ，同时动点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿折线 $B D -$ $D C$ 运动到终点 $C$ ，在 $B D$ 、 $D C$ 上分别以 $8 c m / s$ 、 $6 c m / s$ 的速度运动，过点 $Q$ 作 $Q M ⊥ A B$ ，交射线 $A B$ 于点 $M$ ，连结 $P Q$ ；以 $P Q$ 与 $Q M$ 为边作 $▱ P Q M N$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t (s) (t > 0)$ ， $▱ P Q M N$ 与 $▱ A B C D$ 重叠部分图形的面积为 $S (c m^{2})$ ．

(1)、 $A P =$ $c m$ （用含 $t$ 的代数式表示）．

(2)、当点 $N$ 落在边 $A B$ 上时，求 $t$ 的值．

(3)、当点 $Q$ 在线段 $D C$ 上运动时， $t$ 为何值时， $S$ 有最大值？最大值是多少？

(4)、连结 $N Q$ ，当 $N Q$ 与 $△ A B D$ 的一边平行时，直接写出 $t$ 的值．

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 3 x + c$ 与x轴交于 $A (- 4 ， 0)$ ， B两点，与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线 $O D$ 交直线 $A C$ 于点E，将射线 $O D$ 绕点O逆时针旋转 $45 °$ 得到射线 $O P$ ， $O P$ 交直线 $A C$ 于点F，连接 $D F$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点D在第二象限且 $\frac{D E}{E O} = \frac{3}{4}$ 时，求点D的坐标；

(3)、当 $△ O D F$ 为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．

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	平均数	中位数	众数
甲组	$a$	80	80
乙组	83	$b$	$c$