河北省唐山市丰润区2023年九年级中考模拟数学试卷

试卷更新日期：2023-04-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 经过直线 $a$ 外一点 $P$ 的5条不同的直线中，与直线 $a$ 相交的直线至少有（）

A、2条 B、3条 C、4条 D、5条

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = ∠ 4$ ，则下列说法中，正确的是（）

A、 $A D$ 是 $△ A B E$ 的中线 B、 $A E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线 C、 $A F$ 是 $△ A C E$ 的高线 D、 $A E$ 是 $△ D A F$ 的中线

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3. 与 $- (\frac{1}{6} - \frac{1}{5})$ 互为倒数的是（）

A、 $- \frac{1}{6} \times 5$ B、 $6 \times 5$ C、 $\frac{1}{6} \times 5$ D、 $- 6 \times 5$

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4. 不等式组 ${\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x + 3 > x \\ \frac{x + 2}{3} - \frac{x - 1}{4} \leq \frac{x}{6} + 1 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. $\frac{\overset{m 个 8}{\overset{⎴}{8 \times 8 ⋯ \times 8}}}{\underset{n 个 9}{\underset{︸}{9 + 9 + ⋯ + 9}}} =$ （）

A、 $\frac{8 m}{9^{n}}$ B、 $\frac{2^{3 m}}{9 n}$ C、 $\frac{8 m}{9 n}$ D、 $\frac{8^{m}}{3^{2 n}}$

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6. 将点 $A (- 3 ， - 2)$ 沿水平方向向右平移4个单位长度再向下平移2个单位长度得到点 $A^{'}$ ，若点 $A^{'}$ 在直线 $y = x + b$ 上，则 $b$ 的值为（）

A、6 B、5 C、-6 D、-5

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7. 在平面直角坐标系中，点 $G$ 的坐标是 $(- 2 ， 1)$ ，连接 $O G$ ，将线段 $O G$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转90°，得到对应线段 $O G^{'}$ ，则点 $G^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， - 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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8. 如图，电线杆 $A B$ 的中点 $C$ 处有一标志物，在地面 $D$ 点处测得标志物的仰角为35°，若拉线 $C D$ 的长度是 $a$ 米，则电线杆 $A B$ 的长可表示为（）

A、 $2 a \cdot c o s 3 5^{°}$ 米 B、 $\frac{2 a}{s i n 3 5^{°}}$ 米 C、 $2 a \cdot s i n 3 5^{°}$ 米 D、 $\frac{2 a}{t a n 3 5^{°}}$ 米

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9. 如图，边长为 $a 、 b$ 的长方形周长为12，面积为5，则 $a^{3} b + a b^{3}$ 的值为（）

A、60 B、120 C、130 D、240

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10. 估计 $\sqrt{48} \times \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} \times 2$ 的值在数轴上最可能表示的点是（）

A、 $A$ B、 $B$ C、 $C$ D、 $D$

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11. 如图，矩形 $A B C D$ 在外接圆 $O$ 与水平地面相切于点 $A$ ，已知圆 $O$ 的半径为4，且 $\overset{⌢}{B C} = 2 \overset{⌢}{A B}$ ．若在没有滑动的情况下，将圆 $O$ 向右滚动，使得 $O$ 点向右移动了 $50 π$ ，则此时与地面相切的弧为（）

A、 $\overset{⌢}{A B}$ B、 $\overset{⌢}{B C}$ C、 $\overset{⌢}{C D}$ D、 $\overset{⌢}{D A}$

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12. 抛物线 $y = {(x + a)}^{2} + a - 1$ 的顶点一定不在第（）象限．

A、一 B、二 C、三 D、四

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13. “共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式，小文对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（）

A、小文一共抽样调查了20人 B、样本中当月使用“共享单车” $40 ~ 50$ 次的人数最多 C、样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有14人 D、样本中当月使用次数不足30次的人数多于 $50 ~ 60$ 次的人数

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14. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = C B$ ， $∠ A B C < 90 °$ ，尺规作图痕迹如下．
结论Ⅰ：点 $O$ 一定为 $△ A B C$ 的内心；
结论Ⅱ：连接 $O C$ ， $M N$ ，则 $M N < O C$ ．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）

A、Ⅰ和Ⅱ都对 B、Ⅰ和Ⅱ都不对 C、Ⅰ不对，Ⅱ对 D、Ⅰ对，Ⅱ不对

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15. 如图，直线l上有三点A，B，C， $A B = 5$ ， $B C = 10$ ，点P，Q分别从点A，B同时出发，向点C移动，点P的速度是m个单位长/秒，点Q的速度是n个单位长/秒， $2 m < 3 n$ ，那么（）

A、点P先到 B、点Q先到 C、点P，Q同时到 D、无法确定哪点先到

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B > B C$ ， E为 $A D$ 上一点（不含点A），O为 $B D$ 的中点，连接 $E O$ 并延长，交 $B C$ 于点F，点G为 $D C$ 上一点， $D G = A E$ ，连接 $E G$ ， $F G$ ．甲、乙二位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．
甲：存在点E，使 $E G ⊥ F G$ ；
乙： $△ E F G$ 的面积存在最小值．
下列说法正确的是（）

A、甲、乙都正确 B、甲、乙都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确

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二、填空题

17. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若重叠部分的面积是 $12 c m^{2}$ ，则 $A B$ 的长是 $c m$ ．

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18. 如图，以圆 $O$ 的半径 $O A$ 为边分别作正五边形 $O A B C D$ 和正六边形 $O A E F G H$ ，则 $∠ D O H =$ °，若图中阴影部分的面积为 $π c m^{2}$ ，则圆 $O$ 的半径长是 $c m$ ．

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19. 在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + b (k < 0)$ ，经过点 $(6 ， 0)$ ，且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与曲线 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象 $G$ 交于 $A ， B$ 两点．

(1)、则直线的表达式为；

(2)、横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象 $G$ 在点 $A 、 B$ 之间的部分与线段 $A B$ 围成的区域（不含边界）为 $W$ ．则区域 $W$ 内的整点的坐标是；

(3)、不等式 $k x + b \geq \frac{2}{x}$ 的解集是．

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三、解答题

20. 已知：整式 $A = (2 x - 3) - (3 x - 5)$ ．

(1)、化简整式 $A$ ；

(2)、若 $2 A + B = - x + 6$ ，
①求整式 $B$ ；
②在“ $A$ □ $B$ ”的“□”内，填入“ $+$ ， $-$ ， $\times$ ， $\div$ ”中的一个运算符号，经过计算发现，结果是不含一次项的整式，请你写出一个符合要求的算式，并计算出结果．

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21. 某校七、八年级共有600名学生，为了解该校七、八年级学生对诗词知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行诗词知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀）；相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
8
$b$
中位数
$a$
8
优秀率
80%
60%

(1)、填空：a＝， b＝；

(2)、根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生诗词知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；

(3)、请估计七、八年级学生对诗词知识掌握能够达到优秀的总人数；

(4)、现从七、八年级获得10分的3名学生中随机抽取2人参加市诗词知识竞赛，请用列表或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．

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22. 某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元．该店计划一次购进这两种蔬菜共60千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜 $x$ 千克，销售这60千克蔬菜获得的总利润为 $y$ 元．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的关系式；

(2)、若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的 $\frac{3}{2}$ ，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大？

(3)、由于蔬菜自身的特点，有 $\frac{1}{3}$ 的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是 $a$ 元（ $a > 0$ ）．若获得的总利润随 $x$ 的增大而减小，请直接写出 $a$ 的取值范围．

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23. 如图，把两个扇形 $O A B$ 与扇形 $O C D$ 的圆心重合叠放在一起，且 $∠ A O B = ∠ C O D$ ，连接 $A C$ ．

(1)、求证： $△ A O C ≌ △ B O D$ ；

(2)、若 $O A = 5 c m ， O C = 3 c m$ ，弧 $A B$ 的长为 $3 π c m$ ，弧 $C D$ 的长为 $1.8 π c m$ ，求阴影部分的面积；

(3)、在（2）的条件下求由扇形 $O A B$ 围成的圆锥的高．

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24. 已知，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ，点 $M$ 是斜边 $A B$ 的中点， $M D / / B C$ ，且 $M D = C M$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连结 $A D$ ．

(1)、求证： $△ M E D$ $∽$ $△ B C A$ ；

(2)、当 $S_{△ B D M} = \frac{1}{3} S_{△ A B C}$ 时，求 $S_{△ B E D} ： S_{△ M E D}$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，求 $c o s ∠ A B C$ 的值．

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25. 城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口 $H$ 离地竖直高度 $O H$ 为 $1.5 m$ ．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 $D E F G$ ，其水平宽度 $D E = 3 m$ ，竖直高度 $E F = 0.5 m$ ．内边缘抛物线 $y_{2}$ 是由外边缘抛物线 $y_{1}$ 向左平移得到，外边抛物线 $y_{1}$ 最高点 $A$ 离喷水口的水平距离为 $2 m$ ，高出喷水口 $0.5 m$ ，

(1)、求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 $O C$ ；

(2)、求内边缘抛物线与 $x$ 轴的正半轴交点 $B$ 的坐标；

(3)、当 $B D = 1 m$ 时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由．

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26. 如图1， $∠ A = 45 ° ， ∠ A B C = 60 °$ ， $A B ∥ M N$ ，点 $C$ 在 $M N$ 上，点 $D$ 在 $A C$ 上， $D E ⊥ M N$ 于点 $E$ ， $D E$ 是半圆 $O$ 的直径，且 $D E = 4$ ， $G$ 为 $\overset{⌢}{D E}$ 上靠近点 $D$ 的三等分点， $F$ 是 $\overset{⌢}{D E}$ 上的动点．

(1)、 $C F$ 的最小值为， $C F$ 的最大值为；

(2)、沿直线 $M N$ 向右平移半圆 $O$ ，若半圆 $O$ 的右移速度为每秒1个单位长，求点 $G$ 在 $△ A B C$ 的区域内部（包括边界）的时长；

(3)、过点 $B$ 作 $B H ⊥ M N$ 于点 $H$ ，且 $B H = \frac{9}{2}$ ，沿直线 $M N$ 向右平移半圆 $O$ ．
①如图2，当点 $E$ 与点 $H$ 重合时，求半圆 $O$ 在 $B C$ 上截得的线段 $R T$ 的长；

②将半圆 $O$ 移动到如图2所示的位置时作为初始位置，将线段 $B E$ 连带半圆 $O$ 按顺时针方向开始旋转，如图3所示，设旋转角为 $α (0 < α < 36 0^{°})$ ．当半圆 $O$ 与 $△ A B C$ 的边相切时，直接写出点 $E$ 运动的路径长．（注：结果保留 $π$ ， $s i n 3 7^{°} = \frac{3}{5}$ ， $s i n 5 3^{°} = \frac{4}{5}$ ）

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年级	七年级	八年级
平均数	8	8
众数	8	$b$
中位数	$a$	8
优秀率	80%	60%