安徽省宿州市2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列比-1小的数是（）

A、0 B、-2023 C、1 D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 由几个小立方体搭成的一个几何体如图（1）所示，它的主（正）视图如图（2）所示，则它的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2022年，采矿业实现利润总额15573.6亿元，比上年增长 $48.6 %$ 制造业实现利润总额64150.2亿元，下降 $13.4 %$ ；电力、热力、燃气及水生产和供应业实现利润总额4314.7亿元，增长 $41.8 %$ ．其中数据 $4314.7$ 亿用科学记数法表示为（）

A、 $4.3147 \times 1 0^{10}$ B、 $4.3147 \times 1 0^{11}$ C、 $43.147 \times 1 0^{10}$ D、 $431.47 \times 1 0^{9}$

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4. 计算 ${(- 2 x)}^{2} \cdot x$ 的结果正确的是（）

A、 $- 4 x^{3}$ B、 $4 x^{3}$ C、 $- 4 x^{2}$ D、 $4 x^{2}$

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5. 将含 $30 °$ 角的直角三角板 $A B C$ 如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中 $∠ A C B = 90 °$ ．若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ A B Q$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $130 °$ C、 $150 °$ D、 $160 °$

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6. 下列各式中，可以在有理数范围内进行因式分解的是（）

A、 $x^{2} + 2 x - 1$ B、 $x^{2} - 2 x + 3$ C、 $x^{2} - 4 y$ D、 $x^{2} - 4 y^{2}$

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ．若 $O E = C E = 2$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、1 D、2

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8. 在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和 $a$ 张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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9. 若拋物线 $y = x^{2} + 2 a x + {(a - 1)}^{2}$ 的顶点在第二象限，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 < a < \frac{1}{2}$ B、 $a > 0$ C、 $a > \frac{1}{2}$ D、 $a < 0$

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10. 如图，点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 边 $C D$ 上，点 $F$ 在边 $B C$ 的延长线上， $D E = C F$ ，过点 $F$ 作 $B C$ 的垂线与 $A E$ 的延长线交于点 $G$ ．若 $F G = C F = 4$ ，则正方形的边长为（）

A、 $4 \sqrt{2} + 4$ B、 $8 \sqrt{2} + 2$ C、 $2 \sqrt{2} + 6$ D、 $8 \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{14} \times \sqrt{7} =$ .

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12. 命题“如果 $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 0$ ，那么 $a + b = 0$ ”的逆命题为．

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13. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A (2 ， 1)$ ，连接 $O A$ ，把线段 $O A$ 向上平移 $m$ 个单位得到线段 $B C$ ， $B C$ 与反比例函数的图象交于点 $D$ ．若点 $D$ 是 $B C$ 的中点，则 $m$ 的值为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A C = 2$ ， $C D$ 是 $A B$ 边上的高，过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ ，且 $C E = A B$ ，点 $E$ 与点 $B$ 均在 $C D$ 的右侧，连接 $D E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、若点 $D$ 为 $A B$ 的中点，则 $D E$ 的长为；

(2)、若 $D E ⊥ B C$ ，则 $A B$ 的长为．

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三、解答题

15. 计算： $6 t a n 30 ° - {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - \sqrt{27} \times {(- 1)}^{2023}$ ．

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16. 如图，在 $10 \times 10$ 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中 $△ A B C$ 为格点三角形．

(1)、在图中作出点 $C$ 关于直线 $A B$ 对称的点 $C^{'}$ ；

(2)、以点 $C$ 为旋转中心，作出将 $△ A B C$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $△ A_{1} B_{1} C$ ，其中点 $A$ 与点 $A_{1}$ 对应，点 $B$ 与点 $B_{1}$ 对应．

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17. 2022年7月，河南安阳等地遭遇特大暴雨袭击，暴雨中有房屋倒塌，道路被冲毁，车辆被冲走．灾情发生后，全国各地纷纷援助．合肥某公司筹集了一批物资，准备运往灾区，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱物资；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱物资．求出甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？

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18. 观察下列等式：
第1个等式： $2 + 2^{2} = 2^{3} - 2$ ；
第2个等式： $2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 2$ ；
第3个等式： $2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 2$
第4个等式： $2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} = 2^{6} - 2$ ，
……
请根据以上规律，解决下列问题

(1)、试写出第5个等式；

(2)、请证明第4个等式．

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19. 如图是某段河道的坡面横截面示意图，从点 $A$ 到点 $B$ ，从点 $B$ 到点 $C$ 是两段不同坡度的坡路， $C M$ 是一段水平路段，为改建成河道公园，改善居民生活环境，决定按照 $A B$ 的坡度降低坡面 $B C$ 的坡度，得到新的山坡 $A D$ ，经测量获得如下数据： $C M$ 与水平面 $A N$ 的距离为 $12 m$ ，坡面 $A B$ 的长为 $10 m$ ， $∠ B A N = 15 °$ ，坡面 $B C$ 与水平面的夹角为 $31 °$ ，降低 $B C$ 坡度后， $A 、 B 、 D$ 三点在同一条直线上，即 $∠ D A N = 15 °$ ．为确定施工点 $D$ 的位置，试求坡面 $A D$ 的长和 $C D$ 的长度（ $s i n 15 ° \approx 0.26$ ， $c o s 15 ° \approx 0.97$ ， $t a n 15 ° \approx 0.27$ ， $s i n 31 ° ≈ 0.52$ ， $c o s 31 ° \approx 0.88$ ， $t a n 31 ° \approx 0.68$ ，结果精确到0.1米）

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20. 阿基米德（公元前287年-公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，且 $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，在弦 $A B$ 上取点 $E$ ，使 $A D = D E$ ，点 $F$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 上的一点，且 $\overset{⌢}{C F} = \overset{⌢}{A C}$ ，连接 $B F$ ，求证： $B F = B E$ ．
学习小组中的一位同学进行了如下证明：
如图2，连接 $A C$ ， $C E$ ， $B C$
∵ $C D ⊥ A B$ ， $A D = D E$ ．
∴ $∠ C A E = ∠ C E A$
∵ $∠ C A E + ∠ F = 180 °$ ， $∠ C E A + ∠ C E B = 180 °$
∴ $∠ F = ∠ C E B$
……
请完成下列的任务：

(1)、完成上面的证明：

(2)、如图3，将上述问题中弦 $A B$ 改为直径 $A B$ ，若 $C F ∥ A B$ ，求证点 $E$ 是 $A B$ 的中点．

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21. 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利石开，某中学组织了“共和国成就”知识竞赛，校团委李老师随机调查了部分同学的竞赛成绩，并将他们的成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下（单位：分）：
$a$ .将成绩分为 $A$ （优秀 $90 \leq x \leq 100$ ）， $B$ （良好 $80 \leq x < 90$ ）， $C$ （合格 $70 \leq x < 80$ ）， $D$ （不合格 $x < 70$ ）四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
$b$ . $D$ 组的同学具体得分是68，54，65，55，65，59．
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次抽样调查的样本容量是 ▲ ，请补全条形统计图；

(2)、 $D$ 组数据中的平均数为，中位数为；

(3)、已知 $D$ 组调查对象中只有两位男生竞赛成绩不合格，团委李老师准备随机回访 $D$ 组中两位竞赛成绩不合格的同学，请用画树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率．

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22. 如图，已知 $△ A B C$ 是等腰直角三角形，其中 $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为 $A C$ 上任意一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ，取 $B D$ 的中点 $O$ ，连接 $O C$ ， $O E$ ， $C E$ ．

(1)、求证：① $O C = O E$ ；
② $△ O C E$ 为等腰直角三角形；

(2)、若 $B C = 4$ ， $C E ⊥ B D$ ，试求 $A D$ 的长．

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、点 $P$ 是第四象限内抛物线上一点，连接 $A C$ ，过点 $P$ 作 $A C$ 的平行线，交 $x$ 轴于点 $D$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．
①若直线 $P E$ 的解析式为 $y = k x + c (k \neq 0)$ ，试用含 $t$ 的代数式表示 $c$ ；
②若点 $D$ 是线段 $P E$ 的中点，试求点 $P$ 的坐标．

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