山西省晋中市介休市2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-04-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列计算结果是 $x^{5}$ 的为（）

A、 $x^{2} \cdot x^{3}$ B、 $x^{6} - x$ C、 ${(x^{3})}^{2}$ D、 $x^{10} \div x^{2}$

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2. 如图，下列各组角中，互为内错角的是（）

A、 $∠ 1$ 和 $∠ 3$ B、 $∠ 2$ 和 $∠ 3$ C、 $∠ 3$ 和 $∠ 4$ D、 $∠ 2$ 和 $∠ 5$

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3. 当 $a > 0$ 时，下列关于幂的运算正确的是（）

A、 $a^{0} = 1$ B、 $a^{- 2} = - a^{2}$ C、 ${(- a)}^{2} = - a^{2}$ D、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$

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4. 如图所示，某同学的家在 $P$ 处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择 $P \to C$ 路线，用几何知识解释其道理正确的是（）

A、两点之间线段最短 B、经过两点有且只有一条直线 C、两点确定一条直线 D、垂线段最短

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5. 2021年12月9日“天宫课堂”开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富演示了微重力环境下细胞学实验、人体运动、液体表面张力等神奇现象．细胞的大小依据细胞种类不同有很大的差异，目前已知最小的细胞是支原体，直径只有0.1-0.3μm．已知1μm＝0.000001m，则0.3μm用科学记数法可以表示为（）

A、 $3 \times 1 0^{6} m$ B、 $0.3 \times 1 0^{- 6} m$ C、 $3 \times 1 0^{- 5} m$ D、 $3 \times 1 0^{- 7} m$

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6. 你能根据下图中图形的面积关系得到的数学公式是（）

A、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a (a + b) = a^{2} + a b$

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7. 如图，点E、F分别在线段AB和CD上，下列条件中能判定 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 3 = ∠ 4$ C、 $∠ 1 = ∠ 4$ D、 $∠ 4 = ∠ 2$

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8. 随着我国经济的发展，国民生活水平的提高，车辆数目也在不断增加，老式街道由于宽度和承载能力有限，制约了城市交通的发展速度，因而急需对原有的老式道路进行扩宽改造．某市对一道路进行拓宽改造，工程队在工作了一段时间后，因雨被迫停工几天，随后工程队加快了施工进度，按时完成了拓宽改造任务．下面能反映该工程尚未改造的道路y（米）与时间x（天）的关系的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 计算：（x+1）（x+2）＝．

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10. 如图1，是一把剪刀，图2，是其示意图，若 $∠ A O B ： ∠ A O C = 2 ： 7$ ，则 $∠ B O D$ 的度数是．

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11. 科技小制作的特点在于富含科技，结构简单、材料好找、加工容易、能够独立完成，特别适合于学生．如图所示，某科技制作小组制作的一艘航模船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则 $∠ A B C$ 等于．

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三、解答题

12. 计算：

(1)、 $(2 x y^{2}) \cdot y^{3} \div 16 x^{3} y^{2}$

(2)、 ${(π - 3.14)}^{0} - {(- \frac{1}{3})}^{- 2} + {(- 2)}^{3}$

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13.

(1)、化简： $(\frac{1}{2} a b^{2} - 4 a^{2} b) \cdot (- 4 a b)$

(2)、阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务
先化简，再求值： $[(2 x + y) (2 x - y) - {(2 x - 3 y)}^{2}] \div (- 2 y)$ ，其中 $x = 1$ ， $y = - 2$ ．
解：原式 $= (4 x^{2} - y^{2} - 4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}) \div (- 2 y)$      第一步
$= (- 12 x y + 8 y^{2}) \div (- 2 y)$                          第二步
$= 6 x - 4 y$ ．                                    第三步
当 $x = 1$ ， $y = - 2$ 时，原式 $= 14$ ．第四步
任务：
①第一步运算用到了乘法公式  ▲  （写出1种即可）；
②以上步骤第  ▲  步出现了错误，错误的原因是  ▲  ；
③请写出正确的解答过程．

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14. 阅读下列推理过程，并完成任务：
已知：如图， $E F ∥ A D$ ， $A D ∥ B C$ ， CE平分 $∠ B C F$ ， $∠ D A C = 120 °$ ， $∠ A C F = 20 °$ ．求 $∠ F E C$ 的度数．
解：因为 ① ．所以 $∠ A C B + ∠ D A C = 180 °$ （依据1）．
因为 $∠ D A C = 120 °$ ，所以 $∠ A C B = 60 °$ ．
因为 $∠ A C F = 20 °$ ，所以 $∠ B C F = ∠ A C B - ∠ A C F = 40 °$ ．
因为CE平分 $∠ B C F$ ，所以 $∠ B C E = \frac{1}{2} ∠ B C F = 20 °$ ．
因为 $E F ∥ A D$ ， $A D ∥ B C$ ，所以 $E F ∥ B C$ （依据2）．
所以 $∠ F E C = ∠$ ② $= 20 °$ ．
任务：

(1)、将上述推理过程补充完整．
①：②：

(2)、上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？
“依据1”：．
“依据2”：．

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15. 一根原长为20cm的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间之间的关系可以从下面的表格看出：
燃烧时间t（min）
10
20
30
40
50
…
剩余长度y（cm）
19
18
17
16
15
…

(1)、在这个变化过程中，自变量是因变量是；

(2)、每分钟蜡烛燃烧的长度为cm；用关系式表示上表中两个变量之间的关系为；

(3)、估计这根蜡烛最多可燃烧分钟．

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16. 作图题：如图，点 $C$ ， $E$ 均在直线 $A B$ 上， $∠ B C D = 45 °$ .
（ 1 ）在图中作 $∠ F E B$ ，使 $∠ F E B = ∠ D C B$ （保留作图痕迹，不写作法）.
（ 2 ）请直接说出直线 $E F$ 与直线 $C D$ 的位置关系.

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17. 风是地球上的一种空气流动现象，一般是由太阳辐射热引起的．风的测量多用电接风向风速计、轻便风速表、达因式风向风速计，以及用于测量农田中微风的热球微风仪等仪器进行．小力同学使用轻便风速表观测了某天连续12个小时风力变化的情况，并绘制下图

(1)、上图反映了哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？

(2)、A，B两点表示什么？

(3)、什么时间范围内风力最大？此时风力为多少？

(4)、简要描述8—12时风力变化的情况．

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18. 数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：
图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．

(1)、观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式 ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， ab写出这个等式．

(2)、运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且 $m n = - 3$ ， $m - n = 4$ ，试求 ${(m + n)}^{2}$ 的值．

(3)、如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设 $A B = 8$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 38$ ，求图中阴影部分的面积．

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19. 综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且 $a ∥ b$ 和直角三角形ABC， $∠ B C A = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、操作发现：在图1中， $∠ 1 = 46 °$ ，求 $∠ 2$ 的度数；

(2)、如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把 $∠ 2$ 的位置改变，发现 $∠ 2 - ∠ 1 = 120 °$ ，说明理由；

(3)、实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分 $∠ B A M$ ，此时发现 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 又存在新的数量关系，请写出你的发现并说明理由．

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燃烧时间t（min）	10	20	30	40	50	…
剩余长度y（cm）	19	18	17	16	15	…