湖北省武汉市武昌区八校联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 要使二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \leq 1$ B、 $x > 1$ C、 $x ≥ 1$ D、 $x \geq - 1$

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2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{0.5}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt{13}$

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3. 下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{15} \div \sqrt{3} = 5$ D、 $\sqrt{15} \times \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$

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4. 用下列长度的线段首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（）

A、1.5，2，3， B、8，15，17 C、6，8，10 D、7，24，25

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5. 如图，一竖直的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在地面离大树底端4米处，大树折断之前的高度为（）

A、7米 B、8米 C、9米 D、12米

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6. 如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为5和11，则c的面积为（）

A、4 B、5 C、6 D、5.5

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，以B为圆心，适当长为半径画弧交 $B A$ 于点M，交 $B C$ 于点N，分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线 $B D$ 交 $A C$ 于点E，点F为 $B C$ 的中点，连接 $E F$ ，若 $B E = A C = 4$ ，则 $△ C E F$ 的周长是（）

A、8 B、 $2 \sqrt{3} + 2$ C、 $2 \sqrt{5} + 6$ D、 $2 \sqrt{5} + 2$

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8. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O，过O点作 $B D$ 的垂线分别交 $A D$ ， $B C$ 于E、F两点.若 $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A E O = 120 °$ ，则 $F C$ 的长度为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A H ⊥ B C$ 于点H，E是 $A B$ 的中点，F是 $H C$ 的中点，已知 $A H = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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10. 将等边 $△ A B C$ 折叠，使得顶点A与 $B C$ 上的D重合，F为折痕，若 $\frac{B D}{D C} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{A E}{E B} =$ （）.

A、 $\frac{19}{21}$ B、 $\frac{19}{13}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{23}{25}$

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二、填空题

11. 化简： $\sqrt{4} =$ ； $\sqrt{\frac{2}{9}} =$ ； ${(2 \sqrt{3})}^{2} =$ .

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12. 已知n是正整数， $\sqrt{18 n}$ 是整数，则n的最小值为.

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13. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点A、B、C是小正方形的顶点，则 $∠ A B C$ 的度数为 $°$ .

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14. 点P是矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 的延长线上一点， $P D = \frac{1}{2} A C$ ， $∠ P = 52 °$ ，则 $∠ P D C =$ 度.

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15. 已知矩形 $A B C O$ 中， $A (- 6 ， 2)$ ， $B (- 5 ， b)$ ， $C (a ， 3)$ ，则矩形的面积为.

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16. $▱ A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于E， $A F ⊥ C D$ 于F， $A E = 3$ ， $A F = \frac{9}{2}$ ，若点F刚好是CD的中点，则 $A D =$ .

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{80} - \sqrt{20} + \sqrt{5}$ ；

(2)、 $(4 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}) \div 2 \sqrt{2}$ .

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18. 已知 $x = \sqrt{3} + 1 ， y = \sqrt{3} - 1 ，$ 求下列各式的值：

(1)、 $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} - y^{2}$ .

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19. 已知：如图，点E，F分别为 $▱ A B C D$ 的边BC，AD上的点，且 $∠ 1 = ∠ 2$ .求证： $A F = C E$ .

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20. 如图，小彭同学每天乘坐地铁上学，他观察发现，地铁D出口和学校O在南北方向的街道的同一边，相距80米，地铁A出口在学校的正东方向60米处，地铁B出口离D出口100米，离A出口 $100 \sqrt{2}$ 米.

(1)、求∠ABD的度数；

(2)、地铁B出口离学校O的距离为米.

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21. 正方形网格中的每个小正方形的边长都是一个单位，每个小正方形的顶点叫做格点.已知 $A 、 B 、 C$ 均为格点，仅用无刻的直尺作出符合下列问题的图形.

(1)、在图1中，线段 $A B ＝$ ， $∠ A C B ＝$ 度；

(2)、在图1中，在 $A B$ 上作出点 $D ，$ 使得 $D A ＝ D C$ ；

(3)、在图2中， $A B$ 交其中一条网格线于点E，在平面中作一个点F，使得 $E F = \sqrt{10}$ ，

(4)、在图3中，点A是格点，点P在网格线上，将线段 $A P$ 向左平移三个单位得线段 $M N$ .

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22. 已知 $A (0 ， 4)$ ， $B (- 4 ， 0)$ ， $D (9 ， 4)$ ， $C (12 ， 0)$ ，动点P从点A出发，在线段 $A D$ 上，以每秒1个单位的速度向点D运动：动点Q从点C出发，在线段 $B C$ 上，以每秒2个单位的速度向点B运动，点P、Q同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t（秒）.

(1)、当 $t =$ 秒时， $P Q$ 平分线段 $B D$ ；

(2)、当 $t =$ 秒时， $P Q ⊥ x$ 轴；

(3)、当 $∠ P Q C = \frac{1}{2} ∠ D$ 时，求t的值.

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23. 问题提出：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形.我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题.

如图①，两条长度相等的线段 $A B$ 和 $C D$ 相交于O点， $∠ A O C = 60 °$ ，直线 $A C$ 与直线 $B D$ 的夹角为 $α$ ，求线段 $A C$ 、 $B D$ 、 $A B$ 满足的数量关系.

分析：考虑将 $A C$ 、 $B D$ 和 $A B$ 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的知识寻求三条线段的数量关系：

如图②，作 $C E / / A B$ 且 $C E = A B$ ，则四边形 $A B E C$ 是平行四边形，从而 $A C = B E$ ；

由于 $C D = A B = C E$ ， $∠ E C D = ∠ A O C = 60 °$ ，所以 $△ E C D$ 是等边三角形，故 $E D = A B$ ；

通过平行又求得 $∠ E B D = 180 ° - α$ .

在 $△ B E D$ 中，研究三条线段的大小关系就可以了.

(1)、如图②，若 $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B D = 6$ ， $α = 30 °$ ，请直接写出线段 $A B$ 的长；

(2)、问题解决：如图③，矩形 $A B C D$ 中，E、F分别是 $A D$ 、 $C D$ 上的点，满足 $A E = C D$ ， $D E = C F$ ，求证： $A F = \sqrt{2} C E$ ；

(3)、拓展应用：如图④， $△ A B C$ 中， $∠ A = 45 °$ ， D、E分别在 $A C$ 、 $A B$ 上， $B D$ 、 $C E$ 交于点O， $B D = C E$ ， $∠ B O C = 120 °$ ，若 $B E = 4$ ， $C D = 3 \sqrt{2}$ ，则 $B D =$ .

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24. 矩形 $O A B C$ 的边 $O A$ 、 $O C$ 在坐标轴上，点 $B (a ， b)$ ， $M (c ， 0)$ 其中a、b、c满足 $\sqrt{a - 4} + (a + 2 c)^{2} = \sqrt{b - 2} + \sqrt{2 - b}$ .

(1)、求出a、b、c的值；

(2)、如图，E是 $B C$ 上一点，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠得 $△ A B^{'} E$ ， $A B^{'}$ 交x轴于点D，若 $∠ A E D = 45 °$ ，求 $B E$ 的长；

(3)、如图，点Q是直线 $M A$ 上一动点，以 $O Q$ 为边作等腰直角 $△ O P Q$ ，其中 $∠ P O Q = 90 °$ ， O、Q、P按顺时针排列，当Q在直线 $M A$ 上运动时， $P B + P C$ 的最小值为.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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