福建省三明市大田县2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} • a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(3 a)}^{2} = 9 a^{2}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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2. 国产手机芯片麒麟 $980$ 是全球首个 $7$ 纳米制程芯片，已知 $1$ 纳米 $= 0.000000001$ 米，将 $7$ 纳米用科学记数法表示为（）

A、 $7 \times 1 0^{9}$ 米 B、 $- 7 \times 1 0^{- 9}$ 米 C、 $7 \times 1 0^{8}$ 米 D、 $7 \times 1 0^{- 9}$ 米

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3. 将一副三角板按不同位置摆放，下图中 $∠ α$ 与 $∠ β$ 互余的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - y^{2}$ B、 ${(a + 3)}^{2} = a^{2} + 9$ C、 $(a + b) (- a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 $(x - y) (y + x) = x^{2} - y^{2}$

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5. 如图，小华同学的家在点 $P$ 处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择路线时所用到的数学知识是（）

A、两点确定一条直线 B、两点之间直线最短 C、两点之间线段最短 D、垂线段最短

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6. 父亲告诉小明，温度与海拔高度有关系，并给小明出示了下面的表格：
海拔高度/km
0
1
2
3
4
5
…
温度/℃
20
14
8
2
－4
－10
…
下列有关表格的分析中，不正确的是（）

A、表格中的两个变量是海拔高度和温度 B、自变量是海拔高度 C、海拔高度越高，温度就越低 D、海拔高度每增加1km，温度升高6℃

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7. 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为 $(a + 2 b)$ ，宽为 $(3 a + b)$ 的大长方形，则需要C类卡片（）

A、5张 B、6张 C、7张 D、8张

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8. 已知a∥b ，将等腰直角三角形ABC按如图所示的方式放置，其中锐角顶点B ，直角顶点C分别落在直线a ， b上，若∠1 $=$ 15°，则∠2的度数是（）

A、15° B、22.5° C、30° D、45°

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9. 如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（ $a > b$ ）.把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）

A、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - a b = a (a - b)$

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10. 已知点M为某封闭图形边界上一定点，动点P从点M出发，沿其边界顺时针匀速运动一周.设点P运动的时间为x，线段 $M P$ 的长为y.表示y与x之间关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 计算：3x（x－2）＝.

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12. 如图是对顶角量角器，它所测量的角是度.

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13. 同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y= $\frac{9}{5}$ x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉．

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14. 如果多项式 $x^{2} + m x + 9$ （ $m > 0$ ）是一个完全平方式，则 $m$ 的值是.

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15. 如图， $A D ∥ C E$ ， $∠ A B C = 100 °$ ，则 $∠ 2 - ∠ 1$ 的度数是．

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16. 已知 $2^{a} = 3$ ， $2^{b} = 6$ ， $2^{c} = 12$ ，现给出a，b，c之间的四个关系式：① $a + c = 2 b$ ；② $a + b = 2 c - 3$ ；③ $b + c = 2 a + 2$ ；④ $b = a + 2$ .其中正确的关系式是.（填序号）.

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三、解答题

17.

(1)、计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + {(- 2023)}^{0} - 3^{10} \times {(\frac{1}{3})}^{10}$ ；

(2)、化简： $(- 3 x^{2} y) \cdot 4 x y \div (- 6 x^{3} y)$ .

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18.

(1)、 $2020 \times 2024 - 202 2^{2}$ ；

(2)、 ${(x - 3)}^{2} - (x + 3) (x - 2)$

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19. 如图 $△ A B C$ ， D为 $B C$ 的延长线上一点.

(1)、用尺规作图的方法在 $C D$ 上方作 $∠ D C E$ ，使 $∠ D C E = ∠ B$ ；

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ A = 55 °$ ， $C E$ 恰好平分 $∠ A C D$ ，求 $∠ A C B$ 的度数.

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20. 先化简，再求值： $[{(2 x + y)}^{2} + (2 x + y) (y - 2 x) - 6 y] \div 2 y$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = 3$ .

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21. 为了加强公民的节水意识.某市规定用水收费标准如下.每户每月用水量不超过12 $m^{3}$ 时.按照每立方米3.5元收费：超过 $12 m^{3}$ 时，超出部分每立方米按4.5元收费.设每月用水量为 $x m^{3}$ ，应缴水费为y元.

(1)、当月用水量不超过 $12 m^{3}$ 时，y（元）与 $x (m^{3})$ 之间的关系式为；当月用水量超过 $12 m^{3}$ 时，y（元）与 $x (m^{3})$ 之间的关系式为.

(2)、若某户某月缴纳水费55.5元，则该户这个月的用水量为多少?

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22. 如图， $A B ∥ D G$ ， $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ .

(1)、求证： $A D ∥ E F$ ；

(2)、若 $3 ∠ C D G = 4 ∠ 1$ ， $∠ 2 = 150 °$ ，求 $∠ B$ 的度数.

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23. 如图1，平行四边形 $A B C D$ 的一边 $D C$ 向左右匀速平行移动，图2反映它的底边 $B C$ 的长度 $l (c m)$ 随时间 $t (s)$ 变化而变化的情况，图3反映了变化过程中平行四边形 $A B C D$ 的面积 $S (c m^{2})$ 随时间 $t (s)$ 变化的情况.

(1)、平行四边形 $A B C D$ 中， $B C$ 边上的高为 $c m$ ；

(2)、当 $0 \leq t \leq 5$ 时，写出面积 $S (c m^{2})$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系式；

(3)、当 $t = 12 s$ 时，求面积S的值.

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24. 完全平方公式： ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 适当的变形，可以解决很多的数学问题.
例如：若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值，
解：因为 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，
所以 ${(a + b)}^{2} = 9$ ， $2 a b = 2$ ，
所以 $a^{2} + b^{2} + 2 a b = 9$ ， $2 a b = 2$ 得 $a^{2} + b^{2} = 7$ .
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)、若 $x + y = 8$ ， $x^{2} + y^{2} = 40$ ，求 $x y$ 的值；

(2)、若 $(7 - x) (5 - x) = 6 ， {(7 - x)}^{2} + {(5 - x)}^{2} =$ ；

(3)、如图，点C是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C$ 、 $B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 7$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 25$ ，求图中阴影部分面积.

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25. 如图1，直线 $A B$ 与直线 $O C$ 交于点O， $∠ B O C = α °$ （ $0 < α < 90$ ）.小明将一个含 $30 °$ ， $60 °$ 的直角三角板 $P Q D$ 如图1所示放置，使顶点P落在直线 $A B$ 上，过点Q作直线 $M N ∥ A B$ 交直线 $O C$ 于点H（点H在Q左侧）.

(1)、若 $P D ∥ O C$ ， $∠ N Q D = 45 °$ ，求 $α$ 的度数.

(2)、如图2，若 $∠ P Q H$ 的角平分线交直线 $A B$ 于点E.
①当 $Q E ∥ O C$ ， $α = 60 °$ 时，求证： $O C ∥ P D$ .
②小明将三角板保持 $P D ∥ O C$ 并向左平移，运动过程中，探究 $∠ P E Q$ 与 $α$ 之间的数量关系，并说明理由.

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海拔高度/km	0	1	2	3	4	5	…
温度/℃	20	14	8	2	－4	－10	…