上海市闵行区2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $A = {- 2 ， 0 ， 2}$ ，则 $\bar{A} =$ ．

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2. 若实数 $x$ 、 $y$ 满足 $l g x = m$ 、 $y = 1 0^{1 - m}$ ，则 $x y =$ ．

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3. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为．

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4. 已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为．

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5. 已知常数 $m > 0$ ， ${(x + \frac{m}{x})}^{6}$ 的二项展开式中 $x^{2}$ 项的系数是 $60$ ，则 $m$ 的值为．

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6. 已知事件A与事件B互斥，如果 $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.5$ ，那么 $P (\bar{A ∪ B}) =$ ．

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7. 今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为．

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8. $\underset{h \to 0}{l i m} \frac{l n (h + 4) - 2 l n 2}{h} =$ ．

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9. 若关于 $x$ 的方程 ${(\frac{1}{2})}^{x} + m = \sqrt{x + 1}$ 在实数范围内有解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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10. 已知在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3}$ 、 $a_{7}$ 分别是函数 $y = x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 1$ 的两个驻点，则 $a_{5} =$ ．

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11. 已知抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = 8 x$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点M的坐标为 $(4 ， 0)$ ， P、Q分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 上的动点，且满足 $| P M | = | P Q |$ ，则点P的横坐标的取值范围是．

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12. 平面上有一组互不相等的单位向量 $O A_{1}$ ， $O A_{2}$ ， …， $O A_{n}$ ，若存在单位向量 $\vec{O P}$ 满足 $\vec{O P} \cdot \vec{O A_{1}} + \vec{O P} \cdot \vec{O A_{2}}$ $+ ⋯ + \vec{O P} \cdot \vec{O A_{n}} = 0$ ，则称 $\vec{O P}$ 是向量组 $O A_{1}$ ， $O A_{2}$ ， …， $O A_{n}$ 的平衡向量．已知 $⟨ \vec{O A_{1}} ， \vec{O A_{2}} ⟩ = \frac{π}{3}$ ，向量 $\vec{O P}$ 是向量组 $\vec{O A_{1}}$ ， $\vec{O A_{2}}$ ， $\vec{O A_{3}}$ 的平衡向量，当 $\vec{O P} \cdot \vec{O A_{3}}$ 取得最大值时， $\vec{O A_{1}} \cdot \vec{O A_{3}}$ 值为．

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二、单选题

13. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（）

A、 $y = 0$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = 2^{x}$

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三、多选题

14. 在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在 $[50 ， 60)$ 内的人数为16，则下列结论正确的是（）

A、样本容量 $n = 1000$ B、图中 $x = 0.025$ C、估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分 D、若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等

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四、单选题

15. 已知 $f (x) = c o s 2 x - a s i n x$ ，若存在正整数n，使函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0 ， n π)$ 内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（）

A、1 B、－1 C、0 D、1或－1

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16. 若数列 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ 均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得 $b_{m} \in [c_{n} ， c_{n + 1}]$ ，则称数列 ${b_{n}}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的“M数列”．已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列选项中为假命题的是（）

A、存在等差数列 ${a_{n}}$ ，使得 ${a_{n}}$ 是 ${S_{n}}$ 的“M数列” B、存在等比数列 ${a_{n}}$ ，使得 ${a_{n}}$ 是 ${S_{n}}$ 的“M数列” C、存在等差数列 ${a_{n}}$ ，使得 ${S_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的“M数列” D、存在等比数列 ${a_{n}}$ ，使得 ${S_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的“M数列”

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五、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $s i n A = s i n 2 B$ ， $a = 4$ ， $b = 6$ ．

(1)、求 $c o s B$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD， $P D = A D = 2$ ， $A B = 4$ ，点E在线段AB上，且 $B E = \frac{1}{4} A B$ ．

(1)、求证：CE⊥平面PBD；

(2)、求二面角P－CE－A的余弦值．

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19. 在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病．设事件 $A$ 表示试验者的检测结果为阳性，事件 $B$ 表示试验者患有此疾病，据临床统计显示， $P (A | B) = 0.99$ ， $P (\bar{A} | \bar{B}) = 0.98$ ．已知该地人群中患有此种疾病的概率为 $0.001$ ．（下列两小题计算结果中的概率值精确到 $0.00001$ ）

(1)、对该地某人进行抗原检测，求事件 $A$ 与 $\bar{B}$ 同时发生的概率；

(2)、对该地 $3$ 个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量 $X$ 表示检测结果为阳性的人数，求 $X$ 的分布和期望．

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20. 已知O为坐标原点，曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 和曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有公共点，直线 $l_{1}$ ： $y = k_{1} x + b_{1}$ 与曲线 $C_{1}$ 的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．

(1)、若曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 有且仅有两个公共点，求曲线 $C_{1}$ 的离心率和渐近线方程；

(2)、若直线OM经过曲线 $C_{2}$ 上的点 $T (\sqrt{2} ， - 1)$ ，且 $a^{2}$ 为正整数，求a的值；

(3)、若直线 $l_{2}$ ： $y = k_{2} x + b_{2}$ 与曲线 $C_{2}$ 相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证： $k_{1}^{2} + k_{2}^{2} > 1$ ．

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21. 如果曲线 $y = f (x)$ 存在相互垂直的两条切线，称函数 $y = f (x)$ 是“正交函数”．已知 $f (x) = x^{2} + a x + 2 l n x$ ，设曲线 $y = f (x)$ 在点 $M (x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线为 $l_{1}$ ．

(1)、当 $f^{'} (1) = 0$ 时，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = - 8$ ， $x_{0} = 8$ 时，是否存在直线 $l_{2}$ 满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，且 $l_{2}$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切？请说明理由；

(3)、当 $a \geq - 5$ 时，如果函数 $y = f (x)$ 是“正交函数”，求满足要求的实数 $a$ 的集合 $D$ ；若对任意 $a \in D$ ，曲线 $y = f (x)$ 都不存在与 $l_{1}$ 垂直的切线 $l_{2}$ ，求 $x_{0}$ 的取值范围．

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