上海市静安区2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 若集合 $A = {2 ， l o g_{2} a}$ ， $B = {a ， b}$ ，且 $A \cap B = {0}$ ，则 $A \cup B =$ .

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2. 已知{ $a_{n}$ }是公比为q的等比数列，且 $a_{2}$ 、 $a_{4}$ 、 $a_{6}$ 成等差数列，则 $q^{2}$ =.

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3. 若复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z - i | =$ .

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4. 已知 $A (1 ， 2)$ ， $B (\sqrt{3} ， - 1)$ 两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为.

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5. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 c o s 2 α - 8 c o s α = 5$ ，则 $c o s α =$ ．

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6. 已知 $△ A B C$ 中， $s i n A = 3 s i n C c o s B$ ，且 $A B = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{2^{x} + 1} (a > 0)$ 为偶函数，则函数 $f (x)$ 的值域为.

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8. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) = 4$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量等于.

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9. 某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪含量，其中脂肪含量以占体重（单位：kg）的百分比表示.得到脂肪含量和体重的数据如下
个体编号
体重x（kg）
脂肪含量y（%）
1
89
28
2
88
27
3
66
24
4
59
23
5
93
29
6
73
25
7
82
29
8
77
25
9
100
30
10
67
23
建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：.（结果中回归系数保留三位小数）

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 的中心，则直线 $E F$ 与侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正切值是.

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11. 今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎.标识质量为500g的这种袋装奶糖的质量指标X是服从正态分布 $N (500 ， 2 . 5^{2})$ 的随机变量.若质量指标介于495g（含）至505g（含）之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为%（结果保留一位小数）（已知 $Φ (1) \approx 0.8413 ， Φ (2) \approx 0.9772 ， Φ (3) \approx 0.9987 .$ $Φ (x)$ 表示标准正态分布的密度函数从-∞到x的累计面积）

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12. 若 $1 0^{x} - 1 0^{y} = 10$ ，其中 $x ， y \in R$ ，则 $2 x - y$ 的最小值为.

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二、单选题

13. 若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a}$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n}$ ，则能使 $l$ ∥ $α$ 的是（　　）

A、 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 0) ， \vec{n} = (- 2 ， 0 ， 0)$ B、 $\vec{a} = (1 ， 3 ， 5) ， \vec{n} = (1 ， 0 ， 1)$ C、 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 3) ， \vec{n} = (0 ， 3 ， 1)$ D、 $\vec{a} = (0 ， 2 ， 1) ， \vec{n} = (- 1 ， 0 ， - 1)$

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14. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“Sky Ring”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米， $h = - 28 c o s (\frac{π t}{6}) + 78$ .若在 $t_{1}$ ， $t_{2}$ 时刻，游客距离地面的高度相等，则 $t_{1} + t_{2}$ 的最小值为（　　）

A、6 B、12 C、18 D、24

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15. 设直线 $l_{1} ： x - 2 y - 2 = 0$ 与 $l_{2}$ 关于直线 $l ： 2 x - y - 4 = 0$ 对称，则直线 $l_{2}$ 的方程是（　　）

A、 $11 x + 2 y - 22 = 0$ B、 $11 x + y + 22 = 0$ C、 $5 x + y - 11 = 0$ D、 $10 x + y - 22 = 0$

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16. 函数 $y = x l n x$ （　　）

A、严格增函数 B、在 $(0 ， \frac{1}{e})$ 上是严格增函数，在 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ 上是严格减函数 C、严格减函数 D、在 $(0 ， \frac{1}{e})$ 上是严格减函数，在 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ 上是严格增函数

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三、解答题

17. 已知各项均为正数的数列{ $a_{n}$ }满足 $a_{1} = 1 ， a_{n} = 2 a_{n - 1} + 3$ （正整数 $n ≥ 2)$

(1)、求证：数列 ${a_{n} + 3}$ 是等比数列；

(2)、求数列{ $a_{n}$ }的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD， $A D ∥ B C ∥ F E ， A B ⊥ A D$ ，若 $A D = 2 ， A F = A B =$ $B C = F E = 1$ .

(1)、求五面体ABCDEF的体积；

(2)、若M为EC的中点，求证：平面 $C D E ⊥$ 平面AMD.

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19. 已知双曲线Γ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （其中 $a > 0 ， b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ （ $-$ c，0）、 $F_{2}$ （c，0）（其中 $c > 0$ ）.

(1)、若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ；直线l的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，在y轴上的截距为 $- 2$ .直线l与该双曲线Γ交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△ $M F_{1} F_{2}$ 的面积；

(2)、以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切线的斜率为 $- \sqrt{3}$ ，求双曲线Γ的离心率.

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20. 概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛.请解决下列两个问题.
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中， $n = a + b + c + d ， P (χ^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$

(1)、随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天.某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处. 设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求随机变量ξ的分布和期望.

(2)、由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话.其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人.根据上述信息写出下面这张 $2 \times 2$ 列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验.（显著性水平 $α = 0.05)$

习惯固定在左侧接听电话
习惯固定在右侧接听电话
总计
脑瘤部位在左侧的病人
a
b
42
脑瘤部位在右侧的病人
c
d
46
总计
a+c
b+d
88

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a l n x$ .（其中 $a$ 为常数）

(1)、若 $a = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a < 0$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(3)、当 $0 \leq a < 1$ 时，试讨论函数 $y = f (x)$ 的零点个数，并说明理由.

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个体编号	体重x（kg）	脂肪含量y（%）
1	89	28
2	88	27
3	66	24
4	59	23
5	93	29
6	73	25
7	82	29
8	77	25
9	100	30
10	67	23

	习惯固定在左侧接听电话	习惯固定在右侧接听电话	总计
脑瘤部位在左侧的病人	a	b	42
脑瘤部位在右侧的病人	c	d	46
总计	a+c	b+d	88