上海市金山区2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0}$ ，集合 $B = {2 ， a}$ ，若 $A \cap B = {0}$ ，则 $a =$ .

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2. 若实数 $x$ 满足不等式 $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ ，则 $x$ 的取值范围是.

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的渐近线方程是.

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4. 已知向量 $\vec{a} = (0 ， 1 ， 0)$ ，向量 $\vec{b} = (1 ， 1 ， 0)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的大小为.

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5. 在 ${(2 + x)}^{5}$ 的二项展开式中， $x^{4}$ 项的系数为（结果用数值表示）.

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6. 设复数 $z = 2 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z \cdot \bar{z} =$ .

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7. 已知 $y = f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2 x^{3} + 2^{x} - 1$ ，则 $f (- 2) =$ .

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8. 掷一颗骰子，令事件 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {1 ， 2 ， 5 ， 6}$ ，则 $P (A | B) =$ （结果用数值表示）.

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9. 已知正实数 $a ， b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为.

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10. 若函数 $y = s i n (ω x - \frac{π}{3})$ （常数 $ω > 0$ ）在区间 $(0 ， π)$ 没有最值，则 $ω$ 的取值范围是.

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11. 已知函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的表达式分别为 $f (x) = \sqrt{- x^{2} - 4 x}$ ， $g (x) = x | x^{2} - a |$ ，若对任意 $x_{1} \in [1 ， \sqrt{2}]$ ，若存在 $x_{2} \in [- 3 ， 0]$ ，使得 $g (x_{1}) < f (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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12. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 、 $\vec{d}$ 都是平面向量，且 $| \vec{a} | = 2 | \vec{a} - \vec{b} | = | 5 \vec{a} - \vec{c} | = 1$ ，若 $⟨ \vec{a} ， \vec{d} ⟩ = \frac{π}{4}$ ，则 $| \vec{b} - \vec{d} | + | \vec{c} - \vec{d} |$ 的最小值为.

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二、单选题

13. 若实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a^{2} > b^{2} > 0$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $a > b$ B、 $2^{a} > 2^{b}$ C、 $a > | b |$ D、 $l o g_{2} a^{2} > l o g_{2} b^{2}$

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14. 某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（）

A、讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B、讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C、讲座后答卷得分的第80百分位数为95 D、讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差

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15. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且 $A D = 3 A E$ ， $B C = 3 B F$ ，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（）

A、直线 $A B / /$ 直线CD B、直线 $P Q / /$ 直线ED C、直线 $A B ⊥$ 直线PQ D、直线 $P Q / /$ 平面 $A D E$

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16. 设 ${a_{n}}$ 是项数为 $n_{0}$ 的有穷数列，其中 $n_{0} \geq 2$ ．当 $n \leq \frac{n_{0}}{2}$ 时， $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ ，且对任意正整数 $n \leq n_{0}$ ，都有 $a_{n} + a_{n_{0} + 1 - n} = 0$ .给出下列两个命题：①若对任意正整数 $n \leq n_{0}$ ，都有 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \leq \frac{511}{512}$ ，则 $n_{0}$ 的最大值为18；②对于任意满足 $1 \leq s < t < n_{0}$ 的正整数s和t，总存在不超过 $n_{0}$ 的正整数m和k，使得 $a_{m} + a_{k} = \sum_{i = s + 1}^{t} a_{i}$ ．下列说法正确的是（）

A、①是真命题，②是假命题 B、①是假命题，②是真命题 C、①和②都是真命题 D、①和②都是假命题

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $C = 45 °$ .

(1)、若 $s i n A = \sqrt{2} s i n B$ ，求 $c$ ；

(2)、若 $B - A = 15 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = A A_{1} = 2$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求直线 $C C_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成的角的大小；

(2)、求证：平面 $C D B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，并求点 $B$ 到平面 $C D B_{1}$ 的距离.

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19. 某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元.假设当天进货能全部售完，决定每晚七点前（含七点）售价为每盒20元，每晚七点后售价为每盒10元.根据销售经验，每天的购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关.为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表所示：
每天的浏览量
$(0 ， 1)$
$[1 ， + \infty)$
每天的购买量
300
900
天数
36
24
以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率.

(1)、求4月份草莓一天的购买量 $X$ （单位：盒）的分布；

(2)、设4月份销售草莓一天的利润为 $Y$ （单位：元），一天的进货量为 $n$ （单位：盒）， $n$ 为正整数且 $n \in [600 ， 900]$ ，当 $n$ 为多少时， $Y$ 的期望达到最大值，并求此最大值.

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20. 已知椭圆 $Γ ：$ $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ .

(1)、已知椭圆 $Γ$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ 过椭圆 $Γ$ 的右焦点且垂直于 $x$ 轴，记 $l$ 与 $Γ$ 的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ ，若四边形 $A B B^{'} A^{'}$ 是正方形，求正方形 $A B B^{'} A^{'}$ 的内切圆的方程；

(3)、设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆 $Γ$ 上，若 $△ O P Q$ 是等腰直角三角形，其中 $∠ O P Q$ 是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.

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21. 若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得极值，且 $f (x_{0}) = λ x_{0}$ （常数 $λ \in R$ ），则称 $x_{0}$ 是函数 $y = f (x)$ 的“ $λ$ 相关点”.

(1)、若函数 $y = x^{2} + 2 x + 2$ 存在“ $λ$ 相关点”，求 $λ$ 的值；

(2)、若函数 $y = k x^{2} - 2 l n x$ （常数 $k \in R$ ）存在“1相关点”，求 $k$ 的值：

(3)、设函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ （常数 $a 、 b 、 c \in R$ 且 $a \neq 0$ ），若函数 $y = f (x)$ 有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点 $P (1 ， 2)$ 存在3条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切，求实数 $a$ 的取值范围.

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每天的浏览量	$(0 ， 1)$	$[1 ， + \infty)$
每天的购买量	300	900
天数	36	24