上海市嘉定区2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知复数 $z = 3 + 4 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z |$ = ．

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的离心率为．

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3. 已知 $A = {x | \frac{x - 1}{x} \leq 0}$ ， $B = {x | x \geq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ ．

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4. 函数 $y = sin 2 x$ 的最小正周期为

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5. $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A M} =$ ．

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6. 已知函数 $y = 2 x + \frac{1}{8 x}$ ，定义域为 $(0 ， + ∞)$ ，则该函数的最小值为．

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7. 已知 $n \in N$ ，若 $C_{6}^{n} = P_{5}^{2}$ ，则 $n =$ ．

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = {\begin{array}{l} 2 n ， n = 1 \\ 2^{- n} ， n \geq 2 \end{array}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\underset{n \to + \infty}{l i m} S_{n} =$ ．

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9. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，侧棱长均为 $\sqrt{5}$ ．若点 $A ， B ， C ， D$ 在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为．

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10. 已知某产品的一类部件由供应商 $A$ 和 $B$ 提供，占比分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{2}{3}$ ，供应商 $A$ 提供的部件的良品率为 $0.96$ ，若该部件的总体良品率为 $0.92$ ，则供应商 $B$ 提供的部件的良品率为．

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11. 如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上， $A C = 2$ ．点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则 $△ C D P$ 的面积的最大值为．

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12. 若关于 $x$ 的函数 $y = \frac{x^{3} + a}{e^{x}}$ 在 $R$ 上存在极小值（ $e$ 为自然对数的底数），则实数 $a$ 的取值范围为．

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二、单选题

13. 设 $a \in R$ ，则“ $a < 1$ ”是“ $a^{2} < a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 函数 $y = l g (1 - x) + l g (1 + x)$ 是（）

A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数也是偶函数 D、非奇非偶函数

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15. 已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为 $R_{1}$ ，与该正方体每条棱都相切的球半径为 $R_{2}$ ，过该正方体所有顶点的球半径为 $R_{2}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $R_{1} ： R_{2} ： R_{3} = \sqrt{2} ： \sqrt{3} ： 2$ B、 $R_{1} + R_{2} = R_{3}$ C、 $R_{1}^{2} + R_{2}^{2} = R_{3}^{2}$ D、 $R_{1}^{3} + R_{2}^{3} = R_{3}^{3}$

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16. 有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万．该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1．据此判断房产投资的收益 $X_{1}$ 和商业投资的收益 $X_{2}$ 的分布分别为 $(\begin{array}{l} X_{1} & 11 & 3 & - 3 \\ p & 0.2 & 0.7 & 0.1 \end{array})$ ， $(\begin{array}{l} X_{2} & 7 & 4 & - 2 \\ p & 0.2 & 0.7 & 0.1 \end{array})$ ，则从数学的角度来看，该笔资金如何处理较好（）

A、存银行 B、房产投资 C、商业投资 D、房产投资和商业投资均可

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三、解答题

17. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ，点E、F分别是棱BC和 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、判断直线 $A E$ 与 $D_{1} F$ 的关系，并说明理由；

(2)、若直线 $D_{1} E$ 与底面ABCD所成角为 $\frac{π}{4}$ ，求四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的全面积．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (s i n x ， 1 + c o s 2 x)$ ， $\vec{b} = (c o s x ， \frac{1}{2})$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最大值及相应 $x$ 的值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A为锐角，且 $A + B = \frac{7 π}{12}$ ， $f (A) = 1$ ， $B C = 2$ ，求边 $A C$ 的长．

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19. 李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ， $P (χ^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$

(1)、求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：

超过M
不超过M
上班时间
下班时间

(2)、根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．

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20. 若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点．已知抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = 4 a x$ 和 $C_{2}$ ： $x^{2} = 4 y$ ，其中 $a > 0$ ． $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限内的交点为P． $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在点P处的切线分别为 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，定义 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的夹角为曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的夹角．

(1)、求点P的坐标；

(2)、若 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的夹角为 $a r c t a n \frac{3}{4}$ ，求 $a$ 的值；

(3)、若直线 $l_{3}$ 既是 $C_{1}$ 也是 $C_{2}$ 的切线，切点分别为Q、R，当 $△ P Q R$ 为直角三角形时，求出相应的 $a$ 的值．

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21. 已知 $f (x) = x + 2 s i n x$ ，等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，记 $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (a_{1})$ ．

(1)、求证：函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(π ， π)$ 中心对称；

(2)、若 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 是某三角形的三个内角，求 $T_{3}$ 的取值范围；

(3)、若 $S_{100} = 100 π$ ，求证： $T_{100} = 100 π$ ．反之是否成立？并请说明理由．

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	超过M	不超过M
上班时间
下班时间