上海市虹口区2023届高三下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、填空题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x \leq 3 ， x \in R}$ ， $B = {0 ， 2 ， 4 ， 6}$ ，则 $A ∩ B =$ .

查看试题解析
2. 函数 $y = l g (x - 1) + \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ 的定义域为.

查看试题解析
3. 复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面上对应的点分别为 $Z_{1} (2 ， 1)$ ， $Z_{2} (1 ， - 2)$ ，则 $z_{1} + z_{2} =$ .

查看试题解析
4. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的点 $P (x_{0} ， 4)$ 到其焦点的距离为.

查看试题解析
5. 已知 $x$ 是第二象限的角，且 $c o s (\frac{π}{2} - x) = \frac{3}{5}$ ，则 $t a n (x + \frac{π}{4}) =$ .

查看试题解析
6. 某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是.

查看试题解析
7. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{7}$ ， $∠ A B C = 12 0^{∘}$ ，则 $B C =$ .

查看试题解析
8. 对于定义在 $R$ 上的奇函数 $y = f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + \frac{9}{2^{x} + 1}$ ，则该函数的值域为.

查看试题解析
9. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为.

查看试题解析
10. 已知 $A ， B$ 是球 $O$ 的球面上两点， $∠ A O B = 6 0^{∘}$ ， $P$ 为该球面上的动点，若三棱锥 $P - O A B$ 体积的最大值为6，则球 $O$ 的表面积为.

查看试题解析
11. 过原点的直线 $l$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的左、右两支分别交于 $M$ ， $N$ 两点， $F (2 ， 0)$ 为 $C$ 的右焦点，若 $\vec{F M} \cdot \vec{F N} = 0$ ，且 $| \vec{F M} | + | \vec{F N} | = 2 \sqrt{5}$ ，则双曲线 $C$ 的方程为.

查看试题解析
12. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $\vec{e}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{e} | = 1$ ， $| \vec{b} - \vec{a} | = 1$ ， $< \vec{a} ， \vec{e} > = \frac{2 π}{3}$ ，且对任意的实数 $t$ ，均有 $| \vec{c} - t \vec{e} | \geq | \vec{c} - 2 \vec{e} |$ ，则 $| \vec{c} - \vec{b} |$ 的最小值为.

查看试题解析

二、单选题

13. 已知复数 $z = \frac{1}{1 - i} - i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

查看试题解析
14. 某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{8}{9}$

查看试题解析
15. 对于函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x + s i n^{2} x - \frac{1}{2}$ ，给出下列结论：
（1）函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称；
（2）函数 $y = f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上的值域为 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ ；
（3）将函数 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $y = - c o s 2 x$ 的图像；
（4）曲线 $y = f (x)$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处的切线的斜率为1.
则所有正确的结论是（）

A、（1）（2） B、（2）（3） C、（2）（4） D、（1）（3）

查看试题解析
16. 在数列 ${b_{n}}$ 中，若有 $b_{m} = b_{n}$ （ $m$ ， $n$ 均为正整数，且 $m \neq n$ ），就有 $b_{m + 1} = b_{n + 1}$ ，则称数列 ${b_{n}}$ 为“递等数列”.已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{5} = 5$ ，且 $a_{n} = n (a_{n + 1} - a_{n})$ ，将“递等数列” ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，若 $b_{1} = a_{1} = b_{4}$ ， $b_{2} = a_{2}$ ， $S_{5} = a_{10}$ ，则 $S_{2023} =$ （）

A、4720 B、4719 C、4718 D、4716

查看试题解析

三、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = S_{n}$ （ $n$ 为正整数）.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，若 $b_{m} + b_{m + 1} + b_{m + 2} + ⋯ + b_{m + 9} = 145$ ，求正整数 $m$ 的值.

查看试题解析
18. 如图，在圆锥 $P O$ 中， $A B$ 是底面的直径， $C$ 是底面圆周上的一点，且 $P O = 3$ ， $A B = 4$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P O M$ ；

(2)、求二面角 $O - P B - C$ 的余弦值.

查看试题解析
19. 电解电容是常见的电子元件之一.检测组在 $8 5^{∘} C$ 的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类

(1)、铝䈹是组成电解电容必不可少的材料.现检测组在 $8 5^{∘} C$ 的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进行测试，得到如下 $2 \times 2$ 列联表，那么他们是否有 $99.9 %$ 的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关？请说明理由；

电解电容为次品
电解电容为正品
铝箔为次品
174
76
铝箔为正品
108
142

(2)、电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容（每箱50个），第一箱和第二箱中分别有优等品8件与9件.现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率.

查看试题解析
20. 已知动点 $M (x ， y)$ 到点 $F (1 ， 0)$ 的距离和它到直线 $x = 2$ 的距离之比等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，动点 $M$ 的轨迹记为曲线 $C$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $\vec{F P} = - 2 \vec{F Q}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、已知 $A (- \sqrt{2} ， 0)$ ，直线 $A P$ ， $A Q$ 分别与直线 $x = 2$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，求证：以 $M N$ 为直径的圆经过点 $F$ .

查看试题解析
21. 设 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = l n x$ ， $h (x) = s i n x + c o s x$ .

(1)、求函数 $y = \frac{h (x)}{f (x)}$ ， $x \in (- π ， 3 π)$ 的单调区间和极值；

(2)、若关于 $x$ 不等式 $f (x) + h (x) \geq a x + 2$ 在区间 $[0 ， + ∞)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的值；

(3)、若存在直线 $y = t$ ，其与曲线 $y = \frac{x}{f (x)}$ 和 $y = \frac{g (x)}{x}$ 共有3个不同交点 $A (x_{1} ， t)$ ， $B (x_{2} ， t)$ ， $C (x_{3} ， t) (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，求证： $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 成等比数列.

查看试题解析

	电解电容为次品	电解电容为正品
铝箔为次品	174	76
铝箔为正品	108	142