上海市宝山区2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = (1 ， 3)$ ， $B = [2 ， + \infty)$ ，则 $A ∩ B =$ ．

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2. 不等式 $\frac{x}{x - 1} < 0$ 的解集为

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3. 若幂函数的图象经过点 $(3 ， \sqrt[3]{3})$ ，则该函数的解析式为

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4. 已知复数 $(m^{2} - 3 m - 1) + (m^{2} - 5 m - 6) i = 3$ （其中 $i$ 为虚数单位），则实数 $m =$ ．

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的递推公式为 ${\begin{array}{l} a_{n} = 2 a_{n - 1} + 1 (n \geq 2) \\ a_{1} = 2 \end{array}$ ，则该数列的通项公式 $a_{n} =$ ．

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6. 在 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为(用数字作答).

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7. 从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第二次摸球时摸到蓝球”为B，则 $P (B | A) =$ ．

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8. 若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{2} = 2$ ， $S_{5} = 20$ ，则该数列的前 $n$ 项和为 $S_{n} =$ ．

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9. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a s i n \frac{A + C}{2} = b s i n A$ ，则 $B =$ .

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10. 如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出 $[50 ， 60)$ ， $[90 ， 100)$ 的数据）和频率分布直方图，则 $x - y =$ ．

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{a^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若关于 $x$ 的不等式 $f (a x^{2} + b x + c) > 0$ 的解集为 $(1 ， 2)$ ，其中 $b \in (- 6 ， 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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12. 已知非零平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 不共线，且满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = {\vec{a}}^{2} = 4$ ，记 $\vec{c} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ ，当 $\vec{b} ， \vec{c}$ 的夹角取得最大值时， $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的值为．

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二、单选题

13. 若 $α$ ： $x^{2} = 4$ ， $β$ ： $x = 2$ ，则 $α$ 是 $β$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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14. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x) = | x - m + 1 | - 2$ ，若正实数a、b满足 $f (a) + f (2 b) = m$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、9 C、 $\frac{8}{5}$ D、8

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15. 将正整数 $n$ 分解为两个正整数 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 的积，即 $n = k_{1} \cdot k_{2}$ ，当 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如 $20 = 1 \times 20 = 2 \times 10 = 4 \times 5$ ，其中4×5即为20的最优分解，当 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 是 $n$ 的最优分解时，定义 $f (n) = | k_{1} - k_{2} |$ ，则数列 ${f (5^{n})}$ 的前2023项的和为（）

A、 $5^{1012}$ B、 $5^{1012} - 1$ C、 $5^{2023}$ D、 $5^{2023} - 1$

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16. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知定点 $A (2 ， 1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 ， 0)$ 和动点 $C (0 ， t ， t + 2) (t \geq 0)$ .若 $△ O A C$ 的面积为 $S$ ，以 $O ， A ， B ， C$ 为顶点的锥体的体积为 $V$ ，则 $\frac{V}{S}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{15} \sqrt{5}$ B、 $\frac{1}{5} \sqrt{5}$ C、 $\frac{4}{15} \sqrt{5}$ D、 $\frac{4}{5} \sqrt{5}$

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s x - \sqrt{3} c o s^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期和单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - m = 0$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的实数解，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为2的菱形， $∠ D A B = 60 °$ ，对角线AC与BD相交于点O， $P O ⊥$ 底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．

(1)、求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(2)、证明： $O E ∥$ 平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．

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19. 下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量 $x (4 \leq x \leq 20 ， x \in Z)$ （件）与相应的生产成本 $y$ （万元）的四组对照数据．
$x$
4
6
8
10
$y$
12
20
28
84

(1)、试建立 $x$ 与 $y$ 的线性回归方程；

(2)、研究人员进一步统计历年的销售数据发现．在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化．经分析，每件产品的销售价格 $q$ （万元）是一个与产量 $x$ 相关的随机变量，分布为
$q$
$100 - x$
$90 - x$
$80 - x$
$p$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
假设产品月利润=月销售量×销售价格 $-$ 成本．（其中月销售量=生产量）
根据（1）进行计算，当产量 $x$ 为何值时．月利润的期望值最大？最大值为多少？

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20. 已知抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 4 x$ ．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的焦点F的坐标和准线 $l$ 的方程；

(2)、过焦点F且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线与抛物线 $Γ$ 交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；

(3)、已知点 $P (1 ， 2)$ ，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线 $Γ$ 交于两个不同的点M、N（均不与点Р重合），且以线段MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程 $y = k x + 1$ 中，当 $k$ 取给定的实数时，表示一条直线；当 $k$ 在实数范围内变化时，表示过点 $(0 ， 1)$ 的直线族（不含 $y$ 轴）．记直线族 $2 (a - 2) x + 4 y - 4 a + a^{2} = 0$ （其中 $a \in R$ ）为 $Ψ$ ，直线族 $y = 3 t^{2} x - 2 t^{3}$ （其中 $t > 0$ ）为 $Ω$ ．

(1)、分别判断点 $A (0 ， 1)$ ， $B (1 ， 2)$ 是否在 $Ψ$ 的某条直线上，并说明理由；

(2)、对于给定的正实数 $x_{0}$ ，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 不在 $Ω$ 的任意一条直线上，求 $y_{0}$ 的取值范围（用 $x_{0}$ 表示）；

(3)、直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．求 $Ω$ 的包络和 $Ψ$ 的包络．

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$q$	$100 - x$	$90 - x$	$80 - x$
$p$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

$x$	4	6	8	10
$y$	12	20	28	84