陕西省榆林市2023届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若复数 $z = \sqrt{2} i$ ，则（）

A、 $z^{2} = 2$ B、 $z^{2} = - 4$ C、 $z^{4} = 2$ D、 $z^{4} = 4$

查看试题解析
2. 已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < 16} ， B = {y ∣ - 4 < 4 y < 16}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 1 ， 16)$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $(- 1 ， 4)$ D、 $(- 4 ， 16)$

查看试题解析
3. 一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（）

A、-2 B、-4 C、1 D、2

查看试题解析
4. 已知两个非零向量 $\vec{a} = (1 ， x) ， \vec{b} = (x^{2} ， 4 x)$ ，则“ $| x | = 2$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 实轴在 $y$ 轴上的双曲线的离心率为 $\sqrt{10}$ ，则该双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

查看试题解析
6. 某省将从5个A类科技项目、6个B类科技项目、4个C类科技项目中选4个项目重点发展，其中这3类项目都要有，且A类项目中有1个项目已经被选定，则满足条件的不同选法共有（）

A、96种 B、144种 C、192种 D、206种

查看试题解析
7. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长是2，侧棱长是 $2 \sqrt{5}$ ， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $N$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上一点，且 $M N / /$ 平面 $A B C_{1}$ ，则线段 $M N$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{10}$ D、3

查看试题解析
8. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $a = 2$ ，则输出的 $k =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

查看试题解析
9. 定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) ， g (x)$ 的导函数都存在， $f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) < 1$ ，且 $f (1) = 2$ ， $g (1) = 1$ ，则不等式 $f (x) g (x) < x + 1$ 的解集为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

查看试题解析
10. 现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i（ $i = 1 ， 2 ， \dots ， 16$ ）匹马的日行路程是第 $i + 1$ 匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取 $1.0 5^{17} = 2.292$ ）（）

A、7750里 B、7752里 C、7754里 D、7756里

查看试题解析
11. 已知 $a = l o g_{3.4} 3.5 + l o g_{3.5} 3.4 ， b = l o g_{3.5} 3.6 + l o g_{3.6} 3.5 ， c = l o g_{π} 3.7$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

查看试题解析
12. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥ B C ， B C ⊥ C D ， C D = 2 A B = 2 B C = 4$ ，二面角 $A - B C - D$ 为 $60 °$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $24 π$ C、 $18 π$ D、 $20 π$

查看试题解析

二、填空题

13. 若奇函数 $f (x) = x^{3} + (a - 5) x^{2} + a x (x \in R)$ ，则 $f (1) =$ ．

查看试题解析
14. 若不等式 $a x^{2} - 6 x + 3 > 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，则a的取值范围是， $a + \frac{9}{a - 1}$ 的最小值为．

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = t a n 2 x$ 与 $g (x) = s i n (x - \frac{π}{6})$ 的图象在区间 $[- π ， π]$ 上的交点个数为m，直线 $x + y = 2$ 与 $f (x)$ 的图象在区间 $[0 ， π]$ 上的交点的个数为n，则 $m + n =$ ．

查看试题解析
16. 已知直线 $y = x - m$ 与椭圆 $C ： x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 交于A，B两点，则线段AB的中点P的轨迹长度为．

查看试题解析

三、解答题

17. 如图，在底面 $A B C D$ 为矩形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P C D$ ．

(2)、若 $P A = A D = 3 ， A B = 1$ ， $E$ 在棱 $A D$ 上，且 $A D = 3 A E$ ，求 $P E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
18. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4$ ，且 $a c s i n B = 8 s i n A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $s i n A s i n B s i n C$ 的取值范围．

查看试题解析
19. 已知1个不透明的袋子中装有6个白球和4个黄球（这些球除颜色外无其他差异）．甲从袋中摸出1球，若摸出的是白球，则除将摸出的白球放回袋子中外，再将袋子中的1个黄球拿出，放入1个白球；若摸出的是黄球，则除将摸出的黄球放回袋子中外，再将袋子中的1个白球拿出，放入1个黄球．再充分搅拌均匀后，进行第二次摸球，依此类推，直到袋中全部是同一种颜色的球，已知甲进行了4次摸球，记袋子中白球的个数为X．

(1)、求袋子中球的颜色只有一种的概率；

(2)、求X的分布列和期望．

查看试题解析
20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $A$ 是 $C$ 上的动点，点 $P (1 ， 1)$ 不在 $C$ 上，且 $| A F | + | A P |$ 的最小值为2．

(1)、求C的方程；

(2)、若直线AP与C交于另一点B，与直线l交于点Q，设 $\vec{Q A} = λ \vec{P A} ， \vec{Q B} = μ \vec{P B}$ ，且 $λ + μ = 4$ ，求直线l的方程．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x l n x$ ．

(1)、若直线 $y = 2 x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，求m的值；

(2)、证明： $- \frac{1}{e} \leq f (x) < \frac{e^{x}}{2 x}$ （参考数据： $e^{4} > 54$ ）．

查看试题解析
22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线M的方程为 $y = \sqrt{- x^{2} + 4 x}$ ，曲线N的方程为 $x y = 9$ ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)、求曲线M，N的极坐标方程；

(2)、若射线 $l ： θ = θ_{0} (ρ \geq 0 ， 0 < θ_{0} < \frac{π}{2})$ 与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且 $| O A | \cdot | O B | = 12$ ，求 $θ_{0}$ ．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x - a - 1 | + | x - 2 a |$ ．

(1)、证明：存在 $a \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x) \geq 1$ 恒成立．

(2)、当 $x \in [2 a ， 4]$ 时， $f (x) \leq x + a$ ，求a的取值范围．

查看试题解析