陕西省西安市临潼区、阎良区2023届高三理数一模试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 集合 $A = {x | | x | < 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 1 \geq 0}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 1]$

查看试题解析
2. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z - i = \frac{3 + i}{1 + i}$ ，则复数z的共轭复数为（）

A、2 B、-2 C、2 $i$ D、 $-$ 2 $i$

查看试题解析
3. 为了提高学生综合能力，某高校每年安排大三学生在暑假期间进行社会实践活动，现将8名学生平均分配给甲，乙两家单位，其中两名外语系学生不能分给同一家单位；另三名艺术系学生也不能同时分给同一家单位，其余学生随机分配，则不同的分配方案有（）

A、114种 B、38种 C、108种 D、36种

查看试题解析
4. 已知 $s i n^{2} (π - θ) = \frac{\sqrt{3}}{2} c o s (\frac{3 π}{2} + θ) ， 0 < | θ | < \frac{π}{2}$ ，则θ等于（）

A、 $-$ $\frac{π}{6}$ B、 $-$ $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

查看试题解析
5. 已知 $x y > 0$ ，向量 $\vec{m} = (2 x ， 1)$ 与向量 $\vec{n} = (\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} y)$ 垂直， $x$ ， $y$ ， 2成等比数列，则 $x$ 与 $y$ 的等差中项为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

查看试题解析
6. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增， $f (1) = 0$ ，则不等式 $x f (x - 1) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup [2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 2)$

查看试题解析
7. 已知 $F_{1} 、 F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 为双曲线右支上的任意一点且 $\frac{| P F_{1} |^{2}}{| P F_{2} |} = 8 a$ ，则双曲线离心率的取值范围是（）

A、(1，2] B、[2 + $\infty$ ) C、(1，3] D、[3，+ $\infty$ )

查看试题解析
8. 在R上定义运算 $\otimes ： x \otimes y = \frac{x}{2 - y}$ ，若关于x的不等式 $(x - a) \otimes (x - 1 - a) \geq 0$ 的解集是集合 ${x | - 2 < x \leq 4}$ 的子集，则实数a的取值范围为（）

A、 $- 2 < a < 1$ B、 $- 2 \leq a < 1$ C、 $- 2 < a \leq 1$ D、 $- 2 \leq a \leq 1$

查看试题解析
9. 函数 $f (x) = x^{3} l n \frac{e + c o s x}{e - c o s x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
10. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，若该数列满足 $a_{n} + 2 S_{n} S_{n - 1} = 0 (n \geq 2)$ ，则下列命题中错误的是（）

A、 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 是等差数列 B、 $S_{n} = \frac{1}{2 n}$ C、 $a_{n} = - \frac{1}{2 n (n - 1)}$ D、 ${S_{2^{n}}}$ 是等比数列

查看试题解析
11. 定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调函数 $f (x)$ ，若对任意实数 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (f (x) - e^{x} - l n x) = e^{2} + 2 l n \sqrt{2} e$ ，若 $x_{0}$ 是方程 $f (x) - f^{'} (x) = e$ 的一个解，则 $x_{0}$ 可能存在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

查看试题解析
12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左､右焦点，且 $| F_{1} F_{2} | = \frac{b^{2}}{2 a}$ ，点P为双曲线右支上一点，M为 $△ F_{1} P F_{2}$ 的内心，若 $S_{△ M P F_{1}} = S_{△ M P F_{2}} + λ S_{△ M F_{1} F_{2}}$ 成立，则λ的值为（）

A、 $\sqrt{5} + 2$ B、 $\sqrt{5} - 2$ C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

查看试题解析

二、填空题

13. 二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x$ 项的系数为．

查看试题解析
14. 在 $△ A B C$ 中，点D是边BC上一点，且 $A B = 4$ ， $B D = 2$ . $c o s B = \frac{11}{16}$ ， $c o s C = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ，则DC=.

查看试题解析
15. 空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足 $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{D N} = \frac{3}{4} \vec{D C}$ ，若点G在线段MN上，且满足 $\vec{M G} = 3 \vec{G N}$ ，若向量 $\vec{A G}$ 满足 $\vec{A G} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A D}$ ，则 $x + y + z =$ ．

查看试题解析
16. 表面积为100π的球面上有四点S､A､B､C，△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若面SAB⊥面ABC，则棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 2 c o s^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间及对称轴方程；

(2)、若在 $△ A B C$ 中，角A，B、C所对的边分别为a，b，c，且 $f (A) = 2$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

查看试题解析
18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B D = 2$ ， $∠ D A B = ∠ B C D = 9 0^{∘}$ ， $∠ C D B = 3 0^{∘}$ ， $∠ A D B = 4 5^{∘}$ ， $P A = P B = P D = 2$ ．

(1)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成角的余弦值．

查看试题解析
19. 甲乙二人均为射击队S中的射击选手，某次训练中，二人进行了100次“对抗赛”，每次“对抗赛”中，二人各自射击一次，并记录二人射击的环数，更接近10环者获胜，环数相同则记为“平局”．已知100次对抗的成绩的频率分布如下：
“对抗赛”成绩（甲：乙）
$10 ： 10$
$10 ： 9$
$10 ： 8$
$9 ： 10$
$9 ： 9$
$9 ： 8$
$8 ： 10$
$8 ： 9$
$8 ： 8$
总计
频数
21
13
6
25
15
10
4
2
4
100
这100次“对抗赛”中甲乙二人各自击中各环数的频率可以视为相应的概率．
附：参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
参考数据：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、设甲，乙两位选手各自射击一次，得到的环数分别为随机变量X，Y，求 $E (X)$ ， $E (Y)$ ， $D (X)$ ， $D (Y)$ ．

(2)、若某位选手在一次射击中命中9环或10环，则称这次射击成绩优秀，以这100次对抗赛的成绩为观测数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为甲的射击成绩优秀与乙的射击成绩优秀有关联？

(3)、在某次团队赛中，射击队S只要在最后两次射击中获得至少19环即可夺得此次比赛的冠军，现有以下三种方案：
方案一：由选手甲射击2次﹔
方案二：由选手甲、乙各射击1次；
方案三：由选手乙射击2次．
则哪种方案最有利于射击队S夺冠？请说明理由．

查看试题解析
20. 在椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $c = 2$ ，过点 $(0 ， b)$ 与 $(a ， 0)$ 的直线的斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设F为椭圆C的右焦点，P为直线 $x = 3$ 上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当 $\frac{| M N |}{| P F |}$ 取最大值时，求直线MN的方程．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a (x + 1) l n x + 2 x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f^{'} (\frac{1}{e}) = e + 2$ ，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x ≥ 1$ 时， $f (x) \leq e^{x - 1} + 2 a l n x + x$ 恒成立，求实数a的取值范围．

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 过定点 $(- 1 ， 0)$ ，倾斜角为 $α$ ，以原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 c o s (\frac{π}{2} - θ)$ .

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的参数方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $P ， Q$ 两点，设 $M (- 1 ， 0)$ ，若 $| M P | + | M Q | = 2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

查看试题解析
23. 若函数 $f (x) = | x - a | + | x + b |$ ， $a ， b \in R$ 且 $a + b > 0$ .

(1)、若 $b = 1$ ， $x \in [0 ， 1]$ 时，不等式 $f (x) \leq x + 5$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为 $1$ ，试证明点 $(a ， b)$ 在定直线上.

查看试题解析

“对抗赛”成绩（甲：乙）	$10 ： 10$	$10 ： 9$	$10 ： 8$	$9 ： 10$	$9 ： 9$	$9 ： 8$	$8 ： 10$	$8 ： 9$	$8 ： 8$	总计
频数	21	13	6	25	15	10	4	2	4	100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828