陕西省商洛市2023届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， - 3 ， - 5} ， B = {x ∣ x^{2} + 3 x + m = 0}$ .若 $A \cap B = {- 1}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${- 1 ， - 2}$ B、 ${- 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 3}$ D、 ${- 1 ， - 3}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 4 \sqrt{2} i$ ，则 $| z | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $n =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq 1 \\ x \leq 2 \\ x + y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = - 2 x + y$ 的最小值为（）

A、3 B、-3 C、-8 D、-6

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5. 函数 $f (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) s i n x}{2^{x} + 2^{- x}}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者．如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（）

A、在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低 B、甲的各项得分比乙的各项得分更均衡 C、在跳高和铁饼项目中，甲、乙水平相当 D、甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大

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7. 先把函数 $f (x) = s i n (x - \frac{π}{3})$ 的图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 时，函数 $g (x)$ 的值域为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ D、 $[- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (\frac{p}{2} ， y_{1}) (y_{1} > 0)$ ， $N (2 p ， y_{2}) (y_{2} > 0)$ 在 $C$ 上，且 $△ F M N$ 的面积为 $12$ ，则 $| F N | =$ （）

A、10 B、11 C、12 D、13

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9. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为 $1$ 的正方形， $A P = 2$ ，则直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 在 $▱ A B C D$ 中，已知 $E$ 为 $B C$ 的中点， $A B = \sqrt{3} ， B E = 1$ ，则 $c o s ∠ A E D$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (2 - x)$ ， $f (x + 3) = f (3 - x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期为2 B、 $f (x + 2)$ 为偶函数 C、 $f (0) = 0$ D、 $f (1) = 0$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 x + 1 ， g (x) = 2 x - 2 l n x$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2} \in (1 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则（）

A、 $f (x_{1}) < g (x_{1})$ B、 $2 x_{1} < l n x_{2}$ C、 $l n (2 x_{1}) < l n x_{2} < x_{1}$ D、 $x_{1} < l n x_{2} < 2 x_{1}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2 ， - 2)$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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14. 甲、乙，丙3人每人制作了一张写有励志铭的卡片，将这些卡片装人3个外观完全一样的信封内（一个信封装一张卡片），放在一起后，甲、乙，丙3人每人随机抽取一个信封，则每个人都没有抽到装有自己制作的卡片的信封的概率为．

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15. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，底面 $△ B C D$ 是边长为2的等边三角形， $△ A B C$ 是以 $B C$ 为斜边的等腰直角三角形，若二面角 $A - B C - D$ 的大小为 $12 0^{∘}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为.

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $A_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{1} (- 1 ， 0)$ ，斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线与C交于P，Q两点，若直线 $A_{1} P$ 与 $A_{1} Q$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ，且 $∠ P F_{1} Q$ 为钝角，则k的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} + a_{5} = 2 (a_{3} + 1)$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{n + S_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.
参考数据： $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ， $\sqrt{210} \approx 14.5$ ， $0.375 = \frac{3}{8}$ .

(1)、若此次知识问答的得分 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，用样本来估计总体，设 $μ$ ， $σ$ 分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求 $P (50.5 < X \leq 94)$ 的值；

(2)、学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为 $\frac{3}{4}$ ，抽到价值20元的学习用品的概率为 $\frac{1}{4}$ .从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为 $ξ$ 元，求 $ξ$ 的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $A B_{1}$ $/ /$ 平面 $B C_{1} D$ .

(2)、若 $A B = B C ， ∠ A B C = 90 ° ， ∠ B_{1} A B = 45 °$ ，求二面角 $B_{1} - C_{1} D - B$ 的余弦值.

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20. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，且双曲线C经过点 $P (\frac{\sqrt{6}}{2} ， - \frac{\sqrt{6}}{2})$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、设M是直线 $x = \frac{1}{2}$ 上任意一点，过点M作双曲线C的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，切点分别为A，B，试判断直线AB是否过定点．若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + x - e^{x} + 1$ ，其中 $a \in R$ ， $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数.
（参考数据： $e^{- \frac{π}{6}} \approx 0.59 ， e^{^{- \frac{π}{4}}} \approx 0.46$ ）

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，证明：当 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ .

(2)、设函数 $g (x) = c o s x - f (x) + 1$ ，若 $x = 0$ 是 $g (x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + c o s θ \\ y = s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和直线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点P的极坐标为 $(2 ， \frac{π}{2})$ ，设曲线 $C_{1}$ 和直线 $C_{2}$ 交于M，N两点，求 $| \frac{1}{| P M |} - \frac{1}{| P N |} |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - m | + | x + 2 |$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) \leq 2 m - 4$ 有解，求实数m的取值范围．

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