吉林省长春市2023届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位，若 $\frac{a - i}{3 + i}$ 为实数，则a＝（）

A、-3 B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 如图所示的Venn图中， $A$ 、 $B$ 是非空集合，定义集合 $A \otimes B$ 为阴影部分表示的集合．若 $A = {x | x = 2 n + 1 ， n \in N ， n \leq 4}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ，则 $A \otimes B =$ （）

A、 ${2 ， 4 ， 6 ， 1}$ B、 ${2 ， 4 ， 6 ， 9}$ C、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 9}$

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3. 已知随机变量 $X ∼ N (2 ， σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.84$ ，则 $P (0 < X ≤ 4) =$ （）

A、0.84 B、0.68 C、0.34 D、0.16

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4. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A_{1} D$ 与 $D_{1} C$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ （ $q > 0$ 且 $q \neq 1$ ），若 $a_{6} + 8 a_{1} = a_{4} + 8 a_{3}$ ，则 $q$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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6. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x - \frac{π}{3}) + 1$ ，（ $ω > 0$ ）的图象在区间 $(0 ， 2 π)$ 内至多存在3条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{5}{3}]$ B、 $(\frac{2}{3} ， \frac{5}{3}]$ C、 $[\frac{5}{3} ， \frac{7}{6})$ D、 $[\frac{5}{3} ， + \infty)$

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7. 已知对于每一对正实数 $x$ ， $y$ ，函数 $f (x)$ 满足： $f (x) + f (y) = f (x + y) - x y - 1$ ，若 $f (1) = 1$ ，则满足 $f (n) = n (n \in N_{+})$ 的 $n$ 的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 已知点 $P$ 为平面直角坐标系 $x O y$ 内的圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上的动点，定点 $A (- 3 ， 2)$ ，现将坐标平面沿 $y$ 轴折成 $\frac{2 π}{3}$ 的二面角，使点 $A$ 翻折至 $A^{'}$ ，则 $A^{'} ， P$ 两点间距离的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{13} ， 3 \sqrt{5}]$ B、 $[4 - \sqrt{13} ， 7]$ C、 $[4 - \sqrt{13} ， 3 \sqrt{5}]$ D、 $[\sqrt{13} ， 7]$

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中，若 $t a n \frac{A + B}{2} = s i n C$ ，则下列论断正确的是（）

A、 $\frac{t a n A}{t a n B} = 1$ B、 $s i n A + s i n B ≤ \sqrt{2}$ C、 $s i n^{2} A + c o s^{2} B = 1$ D、 $c o s^{2} A + c o s^{2} B = s i n^{2} C$

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10. 阅读数学材料：“设 $P$ 为多面体 $M$ 的一个顶点，定义多面体 $M$ 在点 $P$ 处的离散曲率为 $1 - \frac{1}{2 π} (∠ Q_{1} P Q_{2} + ∠ Q_{2} P Q_{3} + ⋯ + ∠ Q_{k - 1} P Q_{k} + ∠ Q_{k} P Q_{1})$ ，其中 $Q_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ， k ≥ 3)$ 为多面体 $M$ 的所有与点 $P$ 相邻的顶点，且平面 $Q_{1} P Q_{2}$ ，平面 $Q_{2} P Q_{3}$ ， …，平面 $Q_{k - 1} P Q_{k}$ 和平面 $Q_{k} P Q_{1}$ 为多面体 $M$ 的所有以 $P$ 为公共点的面．”解答问题：已知在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A A_{1} = A B$ ，则下列结论正确的是（）

A、直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 在其各顶点处的离散曲率都相等 B、若 $A C = B D$ ，则直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 在顶点 $A$ 处的离散曲率为 $\frac{1}{4}$ C、若四面体 $A_{1} A B D$ 在点 $A_{1}$ 处的离散曲率为 $\frac{7}{12}$ ，则 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ D、若直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 在顶点 $A$ 处的离散曲率为 $\frac{1}{3}$ ，则 $B C_{1}$ 与平面 $A C C_{1}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$

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11. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + a x + 1$ ，则（）

A、存在唯一实数 $a$ ，使函数 $f (x)$ 图象关于直线 $x = - \frac{1}{2}$ 对称 B、存在实数 $a$ ，使函数 $f (x)$ 为单调函数 C、任意实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 都存在最小值 D、任意实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 都存在两条过原点的切线

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12. 已知直线 $l ： y = k x + m$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $F$ 为椭圆 $C$ 的下焦点，则下列结论正确的是（）

A、当 $m = 1$ 时， $\exists k \in R$ ，使得 $| \vec{F A} | + | \vec{F B} | = 3$ B、当 $m = 1$ 时， $\forall k \in R$ ，使 $| \vec{F A} + \vec{F B} | > 2$ C、当 $k = 1$ 时， $\exists m \in R$ ，使得 $| \vec{F A} | + | \vec{F B} | = \frac{5}{2}$ D、当 $k = 1$ 时， $\forall m \in R$ ， $| \vec{F A} + \vec{F B} | > \frac{6}{5}$

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三、填空题

13. 若 $cos (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1}{2}$ ，则 $sin 2 θ =$ .

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14. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为60°，若 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则记作 $\vec{a} = [x ， y]$ ．已知向量 $\vec{m} = [1 ， 2]$ ， $\vec{n} = [1 ， - 1]$ ，则 $| \vec{m} + \vec{n} | =$ ．

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15. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为 .

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16. 将圆分成 $n (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ 个扇形，每个扇形用红、黄、蓝、橙四色之一涂色，要求相邻扇形不同色，设这n个扇形的涂色方法为 $a_{n}$ 种，则 $a_{n}$ 与 $a_{n - 1}$ 的递推关系是．

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四、解答题

17. 从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
① $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，其中 $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，② $\frac{a + b}{s i n C} = \frac{c - b}{s i n A - s i n B}$ ， ③ $\sqrt{3} s i n C + c o s C = \frac{c + b}{a}$ ．
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， ____．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $A B$ 的中点， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的最大值．

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18. 如图，平面五边形 $A B C D E$ 中，△ $A D E$ 是边长为2的等边三角形， $C D / / A E$ ， $C D = A E$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，将△ $A D E$ 沿 $A D$ 翻折，使点 $E$ 翻折到点 $P$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ B C$ ；

(2)、若 $P C = 3$ ，求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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19. 在正项数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $2^{2 n} \cdot a_{n}^{2} = 1 + 2^{2 n - 2} \cdot a_{n - 1}^{2} (n ≥ 2)$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - \frac{\sqrt{i + 1}}{2^{i + 1}}) < \frac{1}{2}$ ．

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20. 国学小组有编号为1，2，3，…， $n$ 的 $n$ 位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为 $\frac{2}{3}$ 、答对第二题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第 $i (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n - 1)$ 号同学未答对第一题，则第 $i$ 轮比赛失败，由第 $i + 1$ 号同学继继续比赛；③若第 $i (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n - 1)$ 号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第 $i$ 轮结枣；若该生未答对第二题，则第 $i$ 轮比赛失败，由第 $i + 1$ 号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第 $n$ 轮，则不管第 $n$ 号同学答题情况，比赛结束．

(1)、令随机变量 $X_{n}$ 表示 $n$ 名同学在第 $X_{n}$ 轮比赛结束，当 $n = 3$ 时，求随机变量 $X_{3}$ 的分布列；

(2)、若把比赛规则③改为：若第 $i (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n - 1)$ 号同学未答对第二题，则第 $i$ 轮比赛失败，第 $i + 1$ 号同学重新从第一题开始作答．令随机变量 $Y_{n}$ 表示 $n$ 名挑战者在第 $Y_{n}$ 轮比赛结束．
①求随机变量 $Y_{n} (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ 的分布列；
②证明： $E (Y_{n})$ 单调递增，且小于3．

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21. 已知双曲线 $C$ 上的所有点构成集合 $P = {(x ， y) | a x^{2} - b y^{2} = 1 (a > 0 ， b > 0)}$ 和集合 $Q = {(x ， y) | 0 < a x^{2} - b y^{2} < 1 (a > 0 ， b > 0)}$ ，坐标平面内任意点 $N (x_{0} ， y_{0})$ ，直线 $l ： a x_{0} x - b y_{0} y = 1$ 称为点 $N$ 关于双曲线 $C$ 的“相关直线”．

(1)、若 $N \in P$ ，判断直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的一支有2个交点，求证： $N \in Q$ ；

(3)、若点 $N \in Q$ ，点 $M$ 在直线 $l$ 上，直线 $M N$ 交双曲线 $C$ 于 $A$ ， $B$ ，求证： $\frac{| M A |}{| A N |} = \frac{| M B |}{| B N |}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 a e^{- x} - s i n x + 1$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (0) = 0$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值，并证明函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极值；

(2)、证明 $f (x)$ 在每一个区间 $[2 k π ， 2 k π + \frac{π}{2}] (k \in N)$ 都有唯一零点．

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