广东省梅州市2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-04-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z_{1} = a + i ， a \in R$ ， $z_{2} = 1 - 2 i$ ，且 $z_{1} \cdot \bar{z_{2}}$ 为纯虚数，则 $| z_{1} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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2. 已知集合 $M = {x | y = l g (x - 2)}$ ， $N = {y | y = e^{x} + 1}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- \infty ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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3. 用二分法求方程 $l o g_{4} x - \frac{1}{2 x} = 0$ 近似解时，所取的第一个区间可以是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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4. 把正整数按下图所示的规律排序，则从2021到2023的箭头方向依次为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，且 $f (\frac{π}{3}) - f (\frac{5 π}{6}) = 2$ ，当ω取最小的可能值时， $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{12}$ C、 $- \frac{π}{12}$ D、 $- \frac{π}{6}$

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6. 若直线l： $m x + n y + m = 0$ 将圆C： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 分成弧长之比为2：1的两部分，则直线的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$

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7. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型 $y = c_{1} e^{c_{2} x}$ （其中e为自然对数的底数）拟合，设 $z = l n y$ ，得到数据统计表如下：
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/千万元
7.4
11
20
36.6
66.7
$z = l n y$
2
2.4
3
3.6
4
由上表可得经验回归方程 $z = 0.52 x + a$ ，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（）

A、 $e^{5.08}$ B、 $e^{5.6}$ C、 $e^{6.12}$ D、 $e^{6.5}$

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8. 设函数 $f (x)$ 在R上存在导数 $f^{'} (x)$ ，对任意的 $x ∈ R$ ，有 $f (- x) + f (x) = 2 x^{2}$ ，且在 $(0 ， + ∞)$ 上 $f^{'} (x) < 2 x$ ．若 $f (3 - a) - f (a) \geq 9 - 6 a$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2} ， 3]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的既不充分也不必要条件 B、命题“ $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x + \frac{1}{x} > 1$ ”的否定是“ $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x + \frac{1}{x} ≤ 1$ ” C、若 $c o s^{2} α + s i n^{2} β = 1$ ，则 $α = β$ D、 $y = l o g_{2} (- x^{2} + \frac{1}{4})$ 的最大值为 $- 2$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (c o s θ ， s i n θ)$ ， $\vec{c} = (0 ， 1)$ ，则下列命题正确的是（）

A、当且仅当 $t a n θ = \frac{1}{2}$ 时， $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 上的投影向量为 $\vec{c}$ C、存在θ，使得 $\vec{b} = \vec{a} - \vec{c}$ D、存在θ，使得 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$

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11. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + | s i n x |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是一个最小正周期为 $T = 2 π$ 的周期函数 B、 $f (x)$ 是一个偶函数 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， \frac{5 π}{6})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $0$ ，最大值为 $\frac{5}{4}$

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12. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为边AD的中点，点P为线段 $D_{1} B$ 上的动点，设 $D_{1} P = λ D_{1} B$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，EP//平面 $A B_{1} C$ B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $| P E |$ 取得最小值，其值为 $\sqrt{2}$ C、 $| P A | + | P C |$ 的最小值为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、当 $C_{1} \in$ 平面CEP时， $λ = \frac{1}{4}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a l n x$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线在y轴上的截距为2，则实数 $a =$ ．

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14. 半径为2的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为

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15. 如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 $3 0^{∘}$ ，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为．

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16. 有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为；若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是公比为2的等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{3^{n}} \cdot a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．

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18. 如图，在平面四边形ABCD中， $∠ B A C = ∠ A D C = 90 °$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 2$ ，设 $∠ C A D = θ$ ．

(1)、当 $θ = 45 °$ 时，求BD的长；

(2)、求BD的最大值．

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19. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = \frac{1}{2} A A_{1} = 2$ ，点M为 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、在棱 $B B_{1}$ 上是否存在点Q，使得AQ⊥平面 $B C_{1} M$ ？若存在，求出 $\frac{B_{1} Q}{Q B}$ 的值；若不存在，请说明理由：

(2)、求点C到平面 $B C_{1} M$ 的距离．

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20. 元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：

一般
激动
总计
男性
90
120
女性
25
总计
200
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.100
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、填补上面的2×2列联表，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？

(2)、该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

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21. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{3}$ 且双曲线 $E$ 经过点 $A (\sqrt{3} ， 2)$ ．

(1)、求双曲线 $E$ 的方程；

(2)、过点 $P (2 ， 1)$ 作动直线 $l$ ，与双曲线的左、右支分别交于点 $M$ 、 $N$ ，在线段 $M N$ 上取异于点 $M$ 、 $N$ 的点 $H$ ，满足 $\frac{| P M |}{| P N |} = \frac{| M H |}{| H N |}$ ，求证：点 $H$ 恒在一条定直线上．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - a l n x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in [0 ， π]$ 时， $2 f (x + 1) - c o s x ≥ 1$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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年份	2018年	2019年	2020年	2021年	2022年
年份代码x	1	2	3	4	5
云计算市场规模y/千万元	7.4	11	20	36.6	66.7
$z = l n y$	2	2.4	3	3.6	4

	一般	激动	总计
男性		90	120
女性	25
总计			200

$α$	0.100	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828