广东省深圳市福田区2022-2023学年第二学期4月九年级数学教学质量检测

试卷更新日期：2023-04-23 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）

1. 如图1，数轴上点A表示的数的相反数是（）

A、-3 B、- $\frac{1}{3}$ C、2 D、3

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2. 如图2，是由相同大小的五个小正方体组成的立体模型，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 位于深圳市光明中心区科学公园的深圳科技馆占地面积为66000m² ， 66000用科学记数法可以表示成（）

A、66×10³ B、6.6×10⁴ C、6.6×10³ D、0.66×10⁵

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4. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ - 2 x ⩽ 2 \end{array}$ ，的解集是（）

A、x>0 B、x>2 C、x≥-1 D、x≤-1

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5. 下列计算正确的是（）

A、a²•a⁶＝a12 B、a⁸÷a⁴＝a² C、(−2a²)³=−8a⁶ D、a³+a⁴＝a⁷

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6. 观察下列尺规作图痕迹，其中所作线段AD为△ABC的角平分线的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，深圳某学校积极推进学生综合素质评价改革，小芳在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图3所示，其各项的得分分别为9，8，10，8，7，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（）

A、8，8，8 B、7，8，7.8 C、8，8，8.7 D、8，8，8.4

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8. 小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图4所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、2

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9. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} y = 7 x - 2 ， \\ y = 6 x + 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = 7 x + 2 ， \\ y = 6 x - 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 x = y + 2 \\ y = 6 x - 3 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 x = y - 2 \\ y = 6 x + 3 \end{array}$

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC．若⊙O的半径为3，AD＝2，则线段BC的长为（）

A、 $\frac{40}{3}$ B、8 C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{9}{5}$

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 因式分解：x³–x＝．

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12. 一个不透明的袋子中只装有2个白球和4个红球，这些球除颜色外都相同，现从袋子中随机摸出一个球，则摸出的球恰好是红球的概率为．

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13. 某城市几条道路的位置关系如图6所示，道路AB∥CD，道路CD与DF的夹角∠CDF＝54°，城市规划部门想新修一条道路BF，要求BE＝EF，则∠B的度数为°．

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14. 如图7，在平面直角坐标系中，将菱形ABCD向右平移一定距离后，顶点C，D恰好均落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0，x＞0）的图象上，其中点A（–6，6），B（–3，2），且AD∥x轴，则k=.

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15. 如图8，正方形ABCD的边长为8，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在边BC，CD上，且∠MON＝90°，连接MN交OC于P，若BM＝2，则OP·OC=.

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三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）

16. 计算：
${(- \frac{1}{2})}^{- 2} - \sqrt{12} - (- 2023)^{0} + 6 t a n 3 0^{°}$

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17. 先化简，再求值： $\frac{4 a}{a^{2} + 4 a + 4} \div \frac{a^{2} - 2 a}{a^{2} - 4} - \frac{2}{a + 2}$ ，其中a＝3．

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18. “读书让生活更加多彩，阅读让城市更有温度”．近年来，作为深圳中心城区和“首善之区”的福田各学校积极打造“阅读永恒、书香满溢”的爱阅之校.为了解今年福田区15000名初三学生的每天平均课外阅读时间，从中随机抽取若干名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题：
组别
时间（小时）
频数（人数）
频率
A
0≤t＜0.5
40
0.1
B
0.5≤t＜1
a
0.3
C
1≤t＜1.5
140
b
D
1.5≤t＜2
80
0.2
E
2≤t＜2.5
20
0.05

(1)、表中的a＝， b＝；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、结合调查信息，请你估计今年该区初三学生中，每天课外阅读小于1小时的学生约有多少人？

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19. 为迎接“五一”国际劳动节，某市政府准备购买紫花风和洋红风两种观花树苗，用来美化某大道沿路两侧景观，在购买时发现，紫花风树苗的单价比洋红风树苗的单价高了50%，用1800元购买紫花风树苗的棵数比用1800元购买洋红风树苗的棵数少10棵．

(1)、问紫花风、洋红风两种树苗的单价各是多少元？

(2)、现需要购买紫花风、洋红风两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过8700元，求至少需要购买多少棵洋红风树苗？

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20. 如图9，已知抛物线y＝a(x-1)²+h与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、点E是线段BC的中点，连结AE并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标．

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21. 【综合与实践】我国海域的岛屿资源相当丰富，总面积达72800多平方公里，有人居住的岛屿达450个.位于北部湾的某小岛，外形酷似橄榄球，如图10-1所示.
如图10-2所示，现把海岸线近似看作直线m，小岛面对海岸线一侧的外缘近似看作
AB，经测量，AB的长可近似为250π海里，它所对的圆心角（∠AOB）的大小可近似为90°.（注：AB在m上的正投影为图中线段CD，点O在m上的正投影落在线段CD上.）

(1)、求AB的半径r；

(2)、因该岛四面环海，淡水资源缺乏，为解决岛上居民饮用淡水难的问题，拟在海岸线上，建造一个淡水补给站，向岛上居民输送淡水.为节约运输成本，要求补给站到小岛外缘AB的距离最近（即，要求补给站与AB上的任意一点，两点之间的距离取得最小值.）；
请你依据所学几何知识，在图10-2中画出补给站位置及最短运输路线.（保留画图痕迹，并做必要标记与注明；不限于尺规作图，不要求证明.）

(3)、如图10-3，若测得AC长为600海里，BD长为500海里，试求出（2）中的最小距离。

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22. 【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率(scop)．如图11-1，在△XYZ中，XY＝XZ，顶角X的张率记作 $s c o p ∠ X = \frac{底边}{腰} = \frac{Y Z}{X Y}$ ，容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义∠α(0°<∠α<180°)的张率，例如，scop60°＝1，scop90°＝ $\sqrt{2}$ ，请根据材料，完成以下问题：
如图11-2，P是线段AB上的一动点(不与点A，B重合)，点C，D分别是线段AP，BP的中点，以AC，CD，DB为边分别在AB的同侧作等边三角形△ACE，△CDF，△DBG，连接PE和PG.

(1)、【理解应用】①若等边三角形△ACE，△CDF，△DBG的边长分别为a，b，c，则a，b，c三者之间的关系为；②scop∠EPG＝；

(2)、【猜想证明】如图11-3，连接EF，FG，猜想scop∠EFG的值是多少，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】如图11-4，连接EF，EG，若AB＝12，EF= $2 \sqrt{7}$ ，则△EPG的周长是多少？此时AP的长为多少？（可直接写出上述两个结果），

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组别	时间（小时）	频数（人数）	频率
A	0≤t＜0.5	40	0.1
B	0.5≤t＜1	a	0.3
C	1≤t＜1.5	140	b
D	1.5≤t＜2	80	0.2
E	2≤t＜2.5	20	0.05