安徽省黄山市2023届高三数学第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2023-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N ∣ x < 3} ， B = {x | {(\frac{1}{2})}^{x} < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ B、 ${x ∣ x < - 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 复数 $z$ 满足方程 $z (i - 1) = 4$ ，则 $| z | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4$ D、8

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3. “ $a = 4$ ”是“直线 $a x + y + a = 0$ 和直线 $4 x + (a - 3) y + a + 5 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 $93$ 个面包分给 $5$ 个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份面包个数之和等于中间一份面包个数的四分之三，则中间一份面包的个数为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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5. 先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A=“ $x + y$ 为奇数”，事件B=“ $x$ ， $y$ 满足 $x + y < 6$ ”，则概率 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 已知函数 $f (x) = l g (| x | - 1) + 202 3^{x} + 202 3^{- x}$ ，则使不等式 $f (3 x) < f (x + 1)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{3} ， - \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$

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7. 如图1，将一块边长为20的正方形纸片 $A B C D$ 剪去四个全等的等腰三角形 $△ P E E_{1}$ ， $△ P F F_{1} ， △ P G G_{1} ， △ P H H_{1}$ ，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥 $P - E F G H$ ，使 $E$ 与 $E_{1}$ 重合， $F$ 与 $F_{1}$ 重合， $G$ 与 $G_{1}$ 重合， $H$ 与 $H_{1}$ 重合，点 $A ， B ， C ， D$ 重合于点 $O$ ，如图2.则正四棱锥 $P - E F G H$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{32 \sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{64 \sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{128 \sqrt{10}}{3}$ D、 $\frac{256 \sqrt{10}}{3}$

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8. 已知 $a ， b ， c$ 满足 $a = s i n \frac{1}{3} ， b = e^{- \frac{1}{3}} ， c = l n 3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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二、多选题

9. 如图， $E F$ 为圆 $O$ 的一条直径，点 $P$ 是圆周上的动点， $M ， N$ 是直径 $E F$ 上关于圆心 $O$ 对称的两点，且 $E F = 8 ， M N = 6$ ，则（）

A、 $\vec{P M} = \frac{1}{8} \vec{P E} + \frac{7}{8} \vec{P F}$ B、 $\vec{P E} + \vec{P F} = \vec{P M} + \vec{P N}$ C、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} > \vec{P E} \cdot \vec{P F}$ D、 $\vec{P F} - \vec{P E} > \vec{P N} - \vec{P M}$

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三、单选题

10. 若 $\frac{s i n θ \cdot c o s 2 θ}{s i n θ + c o s θ} = - \frac{3}{5}$ ，则 $t a n (\frac{k π}{2} + θ) (k \in Z)$ 的值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、3

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四、多选题

11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1 ， F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆的左，右焦点， $A ， B$ 分别是椭圆的左，右顶点，点 $P$ 是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是（）

A、存在点 $P$ ，使得 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，则这样的点 $P$ 有4个 C、直线 $P A$ 与直线 $P B$ 的斜率乘积为定值 $- \frac{1}{3}$ D、椭圆C内接矩形的周长取值范围是 $(4 ， 8]$

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12. 如图，圆柱 $O O_{1}$ 的底面半径和母线长均为 $3 ， A B$ 是底面直径，点 $C$ 在圆 $O$ 上且 $O C ⊥ A B$ ，点 $E$ 在母线 $B D 上， B E = 2$ ，点 $F$ 是上底面的一个动点，则（）

A、存在唯一的点 $F$ ，使得 $A F + F E = 2 \sqrt{13}$ B、若 $A E ⊥ C F$ ，则点 $F$ 的轨迹长为4 C、若 $A F ⊥ F E$ ，则四面体 $A C E F$ 的外接球的表面积为 $40 π$ D、若 $A F ⊥ F E$ ，则点 $F$ 的轨迹长为 $2 \sqrt{6} π$

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五、填空题

13. $(3 x - y + 2 z)^{5}$ 的展开式中所有不含字母 $z$ 的项的系数之和为.

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14. 如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数 $1$ 、 $3$ 、 $6$ 、 $10$ 、 $⋯$ ，依次构成数列 ${a_{n}}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{10}} =$ .

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15. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，其右焦点为 $F$ ，过 $F$ 作双曲线一条浙近线的垂线，垂足为点 $H$ ，且与另一条浙近线交于点 $Q$ ，若 $\vec{F H} = \vec{H Q}$ ，则双曲线的离心离为.

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16. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 $[\begin{array}{l} 0 ， 1 \end{array}]$ 上，其解析式如下： $R (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{p} ， x = \frac{q}{p} (p ， q 互质， p > q) \\ 0 ， x = 0 、 1 或 [0 ， 1] 上的无理数 \end{array}$ ，定义在实数集上的函数 $f (x) ， g (x)$ 满足 $f (- x) = 5 - g (2 + x) ， g (x) = 9 + f (x - 4)$ ，且函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称， $g (2) = 2$ ，当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $f (2022) + f (- \frac{2023}{6}) =$ .

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六、解答题

17. 为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间 $[40.100]$ 分内，已知该校高一､高二､高三年级的学生人数分别为800､1000､1200现用分层抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.
年级
样本平均数
样本方差
高一
60
75
高二
63
$s_{2}^{2}$
高三
55

(1)、根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数､平均数､第71百分位数；

(2)、已知所抽取各年级答题成绩的平均数､方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩的平均数 $\bar{x_{3}}$ ，和高二年级学生成绩的方差 $s_{2}^{2}$ .

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18. $△ A B C$ 的三内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a b s i n C$ .点 $P$ 为边 $B C$ 上动点，点 $Q$ 为边 $A C$ 中点，记 $A P$ 交 $B Q$ 于点 $M$ ，若已知 $b = 3 ， c = 6$ .

(1)、当 $P C = P B$ 时，求 $c o s ∠ A M B$ .

(2)、当 $P C$ 长为何值时，从点 $P$ 处看线段 $A Q$ 的视角（即 $∠ A P Q$ ）最大？

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19. 如图四棱锥 $P - A B C D ， ∠ A B C = 9 0^{∘} ， A D ∥ B C$ ，且 $A D = A B = \frac{1}{2} B C = 2$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $△ P D C$ 是以 $∠ D P C$ 为直角的等腰直角三角形，其中 $E$ 为棱 $P C$ 的中点，点 $F$ 在棱 $P D$ 上，且 $P F = 2 F D$ .

(1)、求证： $A ， B ， E ， F$ 四点共面；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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20. 数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比 $a_{0} = 55 %$ 及 $b_{0} = 45 %$ ，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为 $a_{n}$ 及 $b_{n}$ ，不考虑其它因素的影响．

(1)、用 $b_{n}$ 表示 $b_{n + 1}$ ，并求实数 $λ$ ，使 ${b_{n} - λ}$ 是等比数列；

(2)、经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据： $l g 2 \approx 0.301 ， l g 3 \approx 0.477$ ）

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a l n (1 - x) ， a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $2 f (x_{1}) - a x_{2} > (2 l n 2 - \frac{3}{2}) a$ .

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22. 已知拋物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $F$ 为焦点，若圆 $E ： (x - 1)^{2} + y^{2} = 16$ 与拋物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $| A B | = 4 \sqrt{3}$

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若点 $P$ 为圆 $E$ 上任意一点，且过点 $P$ 可以作拋物线 $C$ 的两条切线 $P M ， P N$ ，切点分别为 $M ， N$ .求证： $| M F | \cdot | N F |$ 恒为定值.

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年级	样本平均数	样本方差
高一	60	75
高二	63	$s_{2}^{2}$
高三		55