安徽省滁州市2023届高三数学第二次教学质量监测试卷

试卷更新日期：2023-04-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | l g x \geq 0}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $B \cap ∁_{R} A =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${- 2 ， - 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$

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2. 若 ${(1 + i)}^{2} = (1 - i) z$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点所在象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在下列区间中，函数 $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{3})$ 在其中单调递减的区间是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2} ， π)$ C、 $(π ， \frac{3 π}{2})$ D、 $(\frac{3 π}{2} ， 2 π)$

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4. 由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（）

A、161 B、162 C、163 D、164

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5. 如图是下列某个函数在区间 $[- 2 ， 2]$ 的大致图象，则该函数是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1} c o s \frac{x}{2}$ B、 $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1}$ C、 $f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} + x}{x^{2} + 1} s i n x$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1} c o s x$

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6. 如图，在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $\frac{97}{4} π$ C、 $\frac{105}{4} π$ D、 $30 π$

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7. 已知 $a = e^{0.4} - 1$ ， $b = 0.4 - 2 l n 1.2$ ， $c = 0.2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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8. 若a，b，c均为正数，且满足 $a^{2} + 3 a b + 3 a c + 9 b c = 18$ ，则 $2 a + 3 b + 3 c$ 的最小值是（）

A、6 B、 $4 \sqrt{6}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 已知A，B为两个随机事件，且 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.6$ ，则（）

A、 $P (A + B) < 1$ B、若A，B为互斥事件，则 $P (A B) = 0$ C、若 $P (A B) = 0.24$ ，则A，B为相互独立事件 D、若A，B为相互独立事件，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = P (A B)$

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（）

A、 $| P F |$ 最小值为2 B、若 $| P A | = | P B |$ ，则 $| A B | = 2 | P F |$ C、若 $| A B | = 8$ ，则 $| P F | = 2 \sqrt{2}$ D、若点P不在x轴上，则 $| F A | \cdot | F B | > {| P F |}^{2}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (\frac{1}{2} - x)$ ， $g (1 + x)$ 均为奇函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $g (0) = 0$ C、 $f (- 1) = f (4)$ D、 $g (- 1) = g (4)$

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，△OAB为等腰三角形，顶角 $∠ O A B = θ$ ，点 $D (3 ， 0)$ 为AB的中点，记△OAB的面积 $S = f (θ)$ ，则（）

A、 $f (θ) = \frac{18 s i n θ}{5 - 4 c o s θ}$ B、S的最大值为6 C、 $| A B |$ 的最大值为6 D、点B的轨迹方程是 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0 (y \neq 0)$

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三、填空题

13. ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 x})}^{9}$ 展开式中的常数项为.

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (0 < b < 2)$ 与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点F是椭圆的一个焦点，若△ABF是等腰三角形，则 $b^{2}$ 的值为.

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15. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}$ 的最大值为.

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点E，F在棱AB上，点H，G在棱CD上，点 $E_{1}$ ， $H_{1}$ 在棱 $A_{1} D_{1}$ 上，点 $F_{1}$ ， $G_{1}$ 在棱 $B_{1} C_{1}$ 上， $A E = B F = D H = C G = A_{1} E_{1} = B_{1} F_{1} = D_{1} H_{1} = C_{1} G_{1} = \frac{1}{2}$ ，则六面体 $E F G H - E_{1} F_{1} G_{1} H_{1}$ 的体积为.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $S_{3}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{4 S_{n} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $2 \vec{A B} \cdot \vec{A C} + 3 \vec{B A} \cdot \vec{B C} = \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ .

(1)、求 $\frac{b}{c}$ ；

(2)、已知 $B = \frac{π}{4}$ ， $a = 2$ ，求△ABC的面积.

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19. 大气污染物

P M_{2.5}

（大气中直径小于或等于

2.5 μ m

的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究

P M_{2.5}

的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点空气中

P M_{2.5}

的平均浓度（单位：

μ g / m^{3}

），得到的数据如下表：

城市编号	汽车流量	$P M_{2.5}$ 浓度	城市编号	汽车流量	$P M_{2.5}$ 浓度
1	1.30	66	11	1.82	135
2	1.44	76	12	1.43	99
3	0.78	21	13	0.92	35
4	1.65	170	14	1.44	58
5	1.75	156	15	1.10	29
6	1.75	120	16	1.84	140
7	1.20	72	17	1.11	43
8	1.51	120	18	1.65	69
9	1.20	100	19	1.53	87
10	1.47	129	20	0.91	45

附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

$α$	0.100	0.050	0.010
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635

$\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 27.8$ $\sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 1770$ ， $\sum_{i = 1}^{20} x_{i}^{2} = 40.537$ ， $\sum_{i = 1}^{20} y_{i}^{2} = 193694$ ， $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} y_{i} = 2680.48$ ，在经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， ${\begin{array}{l} \hat{b} = \frac{\sum_{n}^{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{n}^{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \\ \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} \end{array}$ .

(1)、根据上表，若24h内过往的汽车流量大于等于1500辆属于车流量大，

P M_{2.5}

大于等于

75 μ g / m^{3}

属于空气污染.请结合表中的数据，依据小概率值

α = 0.05

的独立性检验，能否认为车流量大小与空气污染有关联？

(2)、设

P M_{2.5}

浓度为y，汽车流量为x.根据这些数据建立

P M_{2.5}

浓度关于汽车流量的线性回归模型，并求出对应的经验回归方程（系数精确到0.01）.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， $A D / / B C$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B = B C = 4$ ， $P A = P C = 5$ .

(1)、求证： $P B ⊥ A C$ ；

(2)、若平面 $P B D ⊥$ 平面PBC，且 $△ P A D$ 中，AD边上的高为3，求AD的长.

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21. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、设P，Q为双曲线C上异于点 $M (\sqrt{2} a ， b)$ 的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = 2 k_{1} k_{2}$ ，求证：直线PQ过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + 2 l n x$ .

(1)、求函数 $g (x) = f (x) - x$ 的零点；

(2)、证明：对于任意的正实数k，存在 $x_{0} > 0$ ，当 $x \in (x_{0} ， + \infty)$ 时，恒有 $k \sqrt{x} > f (x)$ .

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