浙江省衢温“5 1”联盟2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-04-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ y = \sqrt{x}}$ ，集合 $B = {y ∣ y = s i n x}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 1 ， 0]$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[0 ， + ∞)$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3) ， \vec{b} = (1 ， x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则向量 $2 \vec{a} + 3 \vec{b} =$ （）

A、 $(7 ， 4)$ B、 $(7 ， - 4)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(3 ， - 4)$

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3. 已知 $t a n α ， t a n β$ 是方程 $x^{2} - 5 x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $t a n (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $- \frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. 已知偶函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x)$ 单调递减， $a = f (2^{- 1}) ， b = f (s i n (- 1))$ ， $c = f (1)$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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5. 已知函数 $f (x) = l n (s i n (2 x - \frac{π}{3}))$ ，则函数 $f (x)$ 的值域为（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(- \infty ， 0]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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6. 据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近 $50$ 年内减少了 $5 %$ ，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为 $a$ ，从2022年起，经过 $x$ 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积 $y$ 与 $x$ 的函数关系式是（）

A、 $y = 0 . 9^{50 - x} \cdot a$ B、 $y = (1 - 0.0 5^{\frac{x}{50}}) \cdot a$ C、 $y = 0.9 5^{\frac{x}{50}} \cdot a$ D、 $y = (1 - 0.0 5^{50 - x}) \cdot a$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = 1 ， ∠ B A C = 12 0^{∘}$ ，直线 $B C$ 上异于 $B ， C$ 两点的点 $D$ 满足 $\vec{B D} = λ \vec{D C}$ ，且 $A D = 2$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- \frac{10}{3}$ B、 $- \frac{7}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[1 ， + \infty)$ 上的单调函数，且对任意 $x \in [1 ， + ∞)$ ，均有 $f (f (x) - l o g_{2} x) = 1$ .若关于 $x$ 的方程 $4^{f (x)} - a \cdot 2^{f (x)} + 1 = 0$ 有解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[\frac{5}{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的充分不必要条件 B、在 $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $c o s A < c o s B$ ”的充要条件 C、在 $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“sin $A > s i n B$ ”的必要不充分条件 D、“ $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ ”是“ $| x | > 1$ ”的充分不必要条件

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10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{6} s i n x + \sqrt{2} c o s x$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $x = \frac{π}{6}$ 时 $f (x)$ 取得最大值 B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{5}{6} π ， 0)$

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11. 质点 $A$ 和 $B$ 在以坐标原点 $O$ 为圆心，半径为1的 $⊙ O$ 上顺时针作匀速圆周运动，同时出发. $A$ 的角速度大小为 $1 r a d / s$ ，起点为 $⊙ O$ 与 $x$ 轴正半轴的交点； $B$ 的角速度为 $4 r a d / s$ ，起点为射线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x (x \geq 0)$ 与 $⊙ O$ 的交点.则当 $B$ 与 $A$ 重合时， $B$ 的坐标可以为（）

A、 $(c o s \frac{11}{18} π ， s i n \frac{11}{18} π)$ B、 $(- c o s \frac{13}{18} π ， s i n \frac{13}{18} π)$ C、 $(c o s \frac{π}{18} ， - s i n \frac{π}{18})$ D、 $(- c o s \frac{π}{18} ， s i n \frac{π}{18})$

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12. 已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，以 $A_{1}$ 为圆心， $A_{1} A$ 为半径作圆弧 $A B_{1} ， E$ 为圆弧 $A B_{1}$ 的三等分点（靠近点 $A$ ），则下列命题正确的是（）

A、 $C_{1} E = \sqrt{2}$ B、四棱锥 $E - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积为 $2 + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{7}}{4}$ C、三棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} E$ 的外接球的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{15} π$ D、若 $F$ 为 $A_{1} A$ 上的动点，则 $D_{1} F + E F$ 的最小值为 $\sqrt{3}$

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三、填空题

13. 若 $z = \frac{3 - i}{1 + 2 i}$ ，则 $| \bar{z} | =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{6} ， C = \frac{π}{2} ， B C = 1$ ，向量 $\vec{e}$ 是与 $\vec{A B}$ 同向的单位向量，则 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为.

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15. 已知函数 $f (x) = s i n ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增，则 $ω$ 取最大值时，方程 $f (x) - l g x = 0$ 的解的个数为个.

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16. 已知对任意 $x ∈ R$ ，均有不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 成立，其中 $b < 0$ .若存在 $t \in R$ 使得 $(1 - t) a + (1 + 2 t) b + 3 c = 0$ 成立，则 $t$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n x + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s x$ .

(1)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、当 $x ∈ R$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递减区间.

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18. 已知向量 $\vec{m} = (c o s \frac{x}{2} ， s i n \frac{x}{2}) ， \vec{n} = (c o s \frac{x}{2} ， - s i n \frac{x}{2})$ .

(1)、若 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、已知 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} ， f (α) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10} ， f (β) = \frac{\sqrt{5}}{5} ， 0 < α < π ， 0 < β < π$ ，求 $α + β$ 的值.

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19. 已知正三棱锥 $S - A B C$ 的高为4，底面边长为 $4 \sqrt{3}$ .

(1)、求该正三棱锥的表面积；

(2)、用平行底面 $A B C$ 的平面去截该三棱锥，所得截面三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的边长为 $3 \sqrt{3}$ ，已知点 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1} ， A ， B ， C$ 都在同一球面上，求该球的体积.

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20. 位于某港口 $A$ 的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口 $A$ 北偏东 $30 °$ 且与该港口相距 $30$ 海里的 $B$ 处，并正以 $20$ 海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 $v$ 海里/时的航行速度匀速行驶，经过 $t$ 小时与海轮相遇.

(1)、若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？

(2)、若经过 $2$ 小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？

(3)、假设小艇的最高航行速度只能达到 $10 \sqrt{6}$ 海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.

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21. 已知函数 $f (x) = 202 3^{x} + l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - 202 3^{- x} + 2$ .

(1)、若函数 $g (x) = f (x) - 2$ ，判断 $g (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、对 $\forall x \in R$ ，不等式 $f (x^{2} + 1) + f (a | 2 x - 1 |) \geq 4$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = (a - | l n x - a |)^{2} ， a \in R$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性，并写出单调区间（无需证明）；

(2)、若存在 $x_{0} \in [1 ， 2]$ ，使 $f (x_{0}) > 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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