浙江省宁波市三锋教研联盟2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-04-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 6)$ ， $\vec{b} = (1 ， λ)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ$ 等于（）

A、2 B、-3 C、3 D、-2

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2. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $b = \sqrt{3}$ ， $A = 45 °$ ， $B = 60 °$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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3. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，则“ $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ”是“ $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若直线 $a$ 不平行于平面 $α$ ，则下列结论成立的是（）

A、平面 $α$ 内的所有直线都与直线 $a$ 异面 B、平面 $α$ 内不存在与直线 $a$ 平行的直线 C、平面 $α$ 内的直线都与直线 $a$ 相交 D、直线 $a$ 与平面 $α$ 有公共点

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5. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若 $\vec{E D} = x \vec{A B} + y \vec{A D} (x ， y \in R)$ ，则 $x - y$ 等于（）

A、1 B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = A C = 2$ ，以 $A B$ 所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{7 π}{2}$ B、 $3 π$ C、 $2 π$ D、 $π$

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7. 已知 $△ A B C$ 中， $D$ 是BC的中点，且 $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A B} - \vec{A C} |$ ， $| \vec{A D} | = | \vec{A B} |$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$

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8. 如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A D = A A_{1} = 2$ ， $A B = 3$ ， E、F分别是棱 $A A_{1}$ 、 $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，若直线 $D_{1} P$ 与平面BEF无公共点，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{2} + 1$

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二、多选题

9. 下列命题是真命题的是（）

A、平行于同一直线的两条直线平行 B、平行于同一平面的两条直线平行 C、平行于同一直线的两个平面平行 D、平行于同一平面的两个平面平行

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10. 在平面直角坐标系中，已知点 $O (0 ， 0)$ ， $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{A B} | = \sqrt{5}$ B、 $△ A O B$ 是直角三角形 C、以OA，OB为邻边的平行四边形的顶点 $D$ 的坐标为 $(4 ， 4)$ D、与 $\vec{O A}$ 垂直的单位向量的坐标为 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， - \frac{\sqrt{5}}{5})$ 或 $(- \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$

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11. 如图，空间四边形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ 的中点， $G ， H$ 分别在线段 $D C ， D A$ 上，且满足 $D G = λ D C$ ， $D H = μ D A$ ， $λ ， μ \in (0 ， 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时，四边形 $E F G H$ 是矩形 B、当 $λ = μ = \frac{2}{3}$ 时，四边形 $E F G H$ 是梯形 C、当 $λ \neq μ$ 时，四边形 $E F G H$ 是空间四边形 D、当 $λ \neq μ$ 时，直线 $E H ， F G ， B D$ 相交于一点

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12. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\frac{a}{c} = \frac{1 + c o s A}{c o s C}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A = 2 C$ B、 $a^{2} - c^{2} = 2 b c$ C、 $\frac{1}{t a n C} - \frac{1}{t a n A} + 2 s i n A$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{a}{c}$ 的取值范围为 $(0 ， 2)$

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三、填空题

13. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了：已知三角形三边 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ .即有 $△ A B C$ 满足 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $c = \sqrt{7}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} =$ .

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14. 长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，则该球的表面积是.

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15. 如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为 $20 m$ ，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为 $45 °$ ，沿直线步行 $1 m i n$ 后在 $B$ 点观察塔顶，仰角为 $30 °$ ，若 $∠ A D B = 150 °$ ，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为 $m / s$ .

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16. 在锐角 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ， $| \vec{A B} - \vec{A C} | = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知向量 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ 的值；

(2)、求 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (a ， \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (s i n B ， c o s A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在三棱柱 $B C F - A D E$ 中，若G，H分别是线段AC，DF的中点.

(1)、求证： $G H$ $∥$ $B F$ ；

(2)、在线段CD上是否存在一点 $P$ ，使得平面 $G H P$ $∥$ 平面BCF，若存在，指出 $P$ 的具体位置并证明；若不存在，说明理由.

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20. 如图，直角梯形ABCD中， $A B$ $∥$ $C D$ ， $A B ⊥ C B$ ， $A B = 4$ ， $C D = 2$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ .且 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A D}$ ， $\vec{A N} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ .

(1)、若 $G$ 是MN的中点，证明：A，G，C三点共线；

(2)、若P为CB边上的动点（包括端点），求 $(\vec{P M} + \vec{P N}) \cdot \vec{P B}$ 的最小值.

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21. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P，Q分别是棱 $D D_{1}$ ， $A B$ 的中点.

(1)、若 $M$ 为棱 $C C_{1}$ 上靠近 $C$ 点的四等分点，求证： $B M$ $∥$ 平面PQC；

(2)、若平面PQC与直线 $A A_{1}$ 交于 $R$ 点，求平面PRQC将正方体分割成的上、下两部分的体积之比.（不必说明画法与理由）.

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22. 在① $\sqrt{3} a c o s C + a s i n C - \sqrt{3} b = 0$ ， ② $(s i n B - s i n C)^{2} = s i n^{2} A - s i n B s i n C$ ， ③ $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} S$ ，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.）
在锐角 $△ A B C$ 中， $△ A B C$ 的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且选条件：____.

(1)、求角A的大小；

(2)、作 $A B ⊥ B D$ （A，D位于直线BC异侧），使得四边形ABDC满足 $∠ B C D = \frac{π}{4}$ ， $B D = \sqrt{2}$ ，求AC的最大值.

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