四川省成都市郫都区2022-2023学年高二下学期理数期中试卷

试卷更新日期：2023-04-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数f（x）=1+sinx，其导函数为f $^{'}$ （x），则f $^{'}$ （ $\frac{π}{3}$ ）=（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 设点 $M (1 ， 1 ， 1)$ ， $A (2 ， 1 ， - 1)$ ， $O (0 ， 0 ， 0)$ .若 $\vec{O M} = \vec{A B}$ ，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(1 ， 0 ， - 2)$ B、 $(3 ， 2 ， 0)$ C、 $(1 ， 0 ， 2)$ D、 $(3 ， - 2 ， 0)$

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3. 函数 $f (x) = l n x - 2 x^{2}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ ， $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于（）

A、 $6 π$ B、 $8 π$ C、 $10 π$ D、 $12 π$

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5. $\int_{0}^{π} s i n x d x =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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6. 函数 $f (x) = e^{2 x} l n (1 - x)$ 的导函数 $f^{^{'}} (x)$ 等于（）

A、 $e^{2 x} [2 l n (1 - x) + \frac{1}{x - 1}]$ B、 $2 e^{2 x} + \frac{1}{1 - x}$ C、 $e^{2 x} [2 l n (1 - x) + \frac{1}{1 - x}]$ D、 $2 e^{2 x} + \frac{1}{x - 1}$

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7. 已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）在区间（a，b）内的极小值点的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a$ 有且仅有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）．

A、 $(- \infty ， 0) ∪ (4 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 8) ∪ (0 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 4]$ D、 $(- 8 ， 0)$

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9. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1 ， A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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10. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P A = A B = 1$ ， $A C = \sqrt{2}$ .三棱锥 $P - A B C$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的半径为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 函数 $f (x) = x \cdot e^{x} - 2 e^{x} + \frac{1}{2} a x^{2} - a x + \frac{1}{2} a$ ， $x = 1$ 是函数的极大值点，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - e)$ B、 $(- \infty ， - 2 e)$ C、 $(- \infty ， - e^{2})$ D、 $(- \infty ， - 2 e^{2})$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \leq 0 \\ | l n x | ， x > 0 \end{array}$ ，则函数 $F (x) = f [f (x)] - \frac{1}{e^{2}} f (x) - 1$ 的零点个数为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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二、填空题

13. 在空间直角坐标系中，点 $A (1 ， 1 ， 1)$ 关于 $x O y$ 平面的对称点 $B$ 的坐标为.

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14. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (x ， 1 ， 2)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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15. 若函数 $f (x) = l n x - \frac{m}{x}$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上是单调增函数，则 $m$ 的取值范围是.

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16. 若 $e^{x} - (a - 1) x - l n x - l n a \geq 0$ ，则实数 $a$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 a x^{2} + b x + a$ 在 $x = - 1$ 处取得极大值 $1$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 过点 $(0 ， 1)$ 的切线方程.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD，M为PC中点．

(1)、求证： $P A / /$ 平面MBD；

(2)、若 $A B = A D = P A = 2$ ，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．

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19. 函数 $f (x) = e^{x} - a x ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值.

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20. 在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x万件，还需投入 $0.1 x$ 万元的原材料费，全部售完可获得 $p (x)$ 万元，当月产量不足5万件时， $p (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 4.1 x + 1$ ；当月产量不低于5万件时， $p (x) = 13 - l n x - \frac{8}{x} + 0.1 x$ ，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全部售完．
参考数据： $l n 2 \approx 0.69$ ．

(1)、求月利润 $y$ （万元）关于月产量 $x$ （万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润；

(2)、月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到 $0.1$ ）

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C = A A_{1} = 2 A B = 2 A C = 2 B C$ ， $∠ B A A_{1} = 60 °$ ．

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ．

(2)、设P是棱 $C C_{1}$ 的中点，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $P A_{1} B_{1}$ 所成锐二面角的余弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = a x - (a + 2) l n x - \frac{2}{x} + 2 ，$ 其中 $a \in R$ ， $f^{^{'}} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0$ ，试讨论函数 $f (x)$ 在 $(1 ， e)$ 上的零点个数．

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