黑龙江省齐齐哈尔市龙江县五校联考2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2023-04-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{15}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt[3]{12}$

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2. 下列条件中，能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$ B、 $a = 3^{2}$ ， $b = 4^{2}$ ， $c = 5^{2}$ C、 $b = c$ ， $∠ A = 45 °$ D、 $a^{2} = b^{2} - c^{2}$

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3. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简 $| a - b | - \sqrt{a^{2}}$ 的结果是（　　）

A、 $2 a - b$ B、b C、 $- b$ D、 $- 2 a + b$

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4. 估算： $\sqrt{15} \times \sqrt{\frac{1}{3}}$ 的值应在（）

A、0和1之间 B、1和2之间 C、2和3之间 D、3和4之间

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5. 下列计算中，正确的是（）

A、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} = 5 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{2} = 3 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$ D、 $2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2$

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6. 若 $△ A B C$ 的三边a、b、c，满足 $(a - b) (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形

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7. 下列命题中，逆命题为假命题的是（）

A、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B、在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等 C、同位角相等，两直线平行 D、全等三角形的对应角相等

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8. 如图，已知正方形B的面积为100，如果正方形C的面积为169，那么正方形A的面积为（）

A、269 B、69 C、169 D、25

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9. 消防云梯的长度是13米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼5米远的地方（云梯底端离地面高度忽略不计），则云梯可以达到建筑物的高度是（）

A、12米 B、13米 C、14米 D、15米

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10. 已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、3 C、 $\frac{9}{4}$ D、9

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二、填空题

11. 在式子 $\frac{\sqrt{3 - x}}{x - 2}$ 中，字母x的取值范围是．

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12. 已知x，y都是实数，且 $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 4$ ，则y=.

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13. 比较大小： $2 \sqrt{3}$ $3 \sqrt{2}$ （填“＞”、“＜”或“＝”）.

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14. $\sqrt{8}$ 与最简二次根式 $\sqrt{m + 1}$ 是同类二次根式，则 $m =$ ．

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15. 如果 $\sqrt{11}$ 的整数部分为a， $\sqrt{11}$ 的小数部分为b，求 $a - b + \sqrt{11} =$ ．

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16. 在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为 cm² ．

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17. 将一组数 $\sqrt{2}$ ， 2， $\sqrt{6}$ ， $2 \sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ， …， $2 \sqrt{10}$ ，按下列方式进行排列： $\sqrt{2}$ ， 2， $\sqrt{6}$ ， $2 \sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ；则第8个数是．

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三、解答题

18.

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{8} + (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$ ；

(2)、 ${(\sqrt{2} + 1)}^{2} - {(π - 1)}^{0} - | 2 - \sqrt{2} |$ ．

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19. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}) \div \frac{2 y}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ．

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $C D = 12$ ， $A D = 13$ ． $∠ B = 90 °$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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21. 在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他们是这样解答的：
∵ $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$
∴ ${(a - 2)}^{2} = 3$ 即 $a^{2} - 4 a + 4 = 3$
∴ $a^{2} - 4 a = - 1$
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：

(1)、 $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} =$ ．

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{169} + \sqrt{168}}$ ；

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22. 有一圆柱形油罐，如图，要从点A环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方点B，问梯子最短要多少米？（已知油罐底面周长是12米，高 $A B$ 是5米）

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23. 如图，折叠长方形 $A B C D$ 的一边 $A D$ ，使点D落在 $B C$ 边上的点F处， $A D ＝ 10 c m$ ， $A B ＝ 8 c m$ ．
求：

(1)、 $F C$ 的长；

(2)、 $E F$ 的长．

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24. 我市夏季经常收台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且 $A B = 500$ km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域.

(1)、求证： $∠ A C B = 90 °$ ；

(2)、海港C受台风影响吗？为什么？

(3)、若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？

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