苏科版数学八年级下学期复习微专题训练15 分式的混合运算

试卷更新日期：2023-04-19 类型：复习试卷

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一、单选题（每题2分，共16分）

1. 若xy＝x－y，则分式 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} =$ （）

A、 $\frac{1}{x y}$ B、－1 C、y－x D、1

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2. 计算 $\frac{1}{a} \div a$ 的结果为（）

A、a B、 $\frac{1}{a^{2}}$ C、1 D、 $a^{2}$

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3. 化简 $\frac{m - 1}{m} \div \frac{m - 1}{m^{2}}$ 的结果是（）

A、m-1 B、m C、 $\frac{1}{m}$ D、 $\frac{1}{m - 1}$

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4. 计算 $\frac{2 a}{a + 2} - \frac{a - 2}{2 + a}$ 的结果为（）

A、 $a + 2$ B、 $a - 2$ C、1 D、 $\frac{a - 2}{a + 2}$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $\frac{2}{a} \div \frac{a}{3} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = \frac{5}{a + b}$ C、 $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1$ D、 ${(\frac{y}{- 2 x})}^{2} = \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

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6. 下列分式计算错误的是（）

A、 $\frac{x}{y} = \frac{x \cdot a}{y \cdot a} (a \neq 0)$ B、 $\frac{- x + y}{x} = - \frac{x - y}{x}$ C、 $\frac{9 - x^{2}}{x^{2} - 3 x} = \frac{3 + x}{x}$ D、 $\frac{a}{x - y} + \frac{a}{y - x} = 0$

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7. 下列运算结果正确的是（　　）

A、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y} = x + y$ B、 $\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{3}$ C、 $a \div b \times \frac{1}{b} = a$ D、 $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - a} = 0$

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8. 数学课上，老师让计算 $\frac{2 a}{a - b} + \frac{a - 3 b}{a - b}$ ．佳佳的解答如下：
解：原式 $= \frac{2 a + a - 3 b}{a - b}$ ①
$= \frac{3 a - 3 b}{a - b}$ ②
$= \frac{3 (a - b)}{a - b}$ ③
＝3④
对佳佳的每一步运算，依据错误的是（）

A、①：同分母分式的加减法法则 B、②：合并同类项法则 C、③：逆用乘法分配律 D、④：等式的基本性质

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二、填空题（每空2分，共16分）

9. 化简 $\frac{x}{x - 1} - 1$ 的结果为．

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10. 化简： $\frac{4 x}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2} =$ .

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11. 计算： $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} \div \frac{x + 1}{2 x - 2} =$ ．

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12. 已知 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 6$ ，则分式 $\frac{x y}{x - y}$ 的值等于．

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13. 已知 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$ ，则代数式 $\frac{2 x + 7 x y - 2 y}{x - 2 x y - y}$ 的值为.

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14. 已知，ab=-1，a+b=2，则式子 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ =.

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15. 已知 $\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$ ，则A^B的值 .

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16. 若 $\frac{4 x - 1}{（ x + 2 ）（ x - 1 ）} = \frac{M}{x + 2} + \frac{1}{x - 1}$ ，则整式M= ．

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三、计算题（共5题，共42分）

17. 计算

(1)、 $\frac{2 a - b}{a + b} + \frac{a + 4 b}{a + b}$ ；

(2)、 $(a - 1) \cdot \frac{3}{a^{2} + a} \div \frac{a - 1}{a}$

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18. 化简

(1)、 $\frac{x - 3}{x^{2} - 8 x + 16} \div \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 16} - \frac{1}{x - 4}$

(2)、 $(m - 1 - \frac{3}{m + 1}) \div \frac{m + 2}{m^{2} + m}$

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19.

(1)、计算： $\frac{4}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2}$ ；

(2)、先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 1} - 1) \div \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$ ，其中x＝2．

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20. 计算与化简：

(1)、 $(x y - x^{2}) \div \frac{x - y}{x y}$ ；

(2)、 $\frac{a^{2}}{a - 1} - a - 1$ .

(3)、先化简 $\frac{2 a + 2}{a - 1} \div (a + 1) + \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a + 1}$ ，然后a在－1、1、2三个数中任选一个你喜欢的数代入求值.

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21. 计算

(1)、 $（ \frac{- x}{y} ）^{2} \cdot \frac{3 y}{2 x} \div \frac{9 y}{4 x^{2}}$ ；

(2)、 $\frac{x - 3}{x + 3} \div \frac{2}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x - 3}$ ；

(3)、 $\frac{12}{x^{2} - 9} - \frac{2}{x - 3} = \frac{1}{x + 3}$ ；

(4)、已知， $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边，求证： $a^{2} - 2 a c + c^{2} - b^{2} < 0$ ．

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四、综合题（共8题，共76分）

22. 已知x为整数，且 $\frac{2}{x + 3}$ + $\frac{2}{3 - x}$ + $\frac{2 x + 18}{x^{2} - 9}$ 化简结果为整数，求出所有符合条件的x值．

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23. 已知 $\frac{2 x + 3}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ （A、B、C是常数），求A、B、C的值.

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24. 学完分式运算后，王老师出了一道化简题： $\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{a + 1}{1 - a^{2}}$ ，请仔细阅读下面两位同学的解题过程并完成相应的任务：

(1)、任务一：老师判断上述两位同学的解法都错误，请你分别写出他们错误的原因，小明：，小花：；

(2)、任务二：请你写出正确的化简过程．

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25. “ $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，例如： $| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} | = 1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2$ .

(1)、计算 $| \begin{matrix} a + b & a - b \\ \frac{1}{2 a^{2} b} & \frac{1}{2 a^{2} b} \end{matrix} |$ ；

(2)、求等式 $| \begin{array}{l} 2 & \frac{1}{1 - x} \end{array} | = 1$ 中x的值.

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26. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；再如： $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ；
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{5}{x}$ 是分式（填“真”或“假”）；

(2)、 $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 将假分式化为带分式；

(3)、如果 $x$ 为整数，分式 $\frac{3 x - 2}{x + 1}$ 的值为整数，求所有符合条件的 $x$ 的值.

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27. 我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.任何一个假分式都可以化作整式与真分式的和的形式.
如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ； $\frac{2 x - 3}{x + 1} = \frac{2 x + 2 - 5}{x + 1} = \frac{2 x + 2}{x + 1} + \frac{- 5}{x + 1} = 2 + (- \frac{5}{x + 1})$

(1)、下列分式中，属于真分式的是（填序号）；
① $\frac{a - 2}{a + 1}$ ② $\frac{x^{2}}{x + 1}$ ③ $\frac{a^{2} + 3}{a^{2} - 1}$ ④ $\frac{2 b}{b^{2} + 3}$

(2)、将假分式 $\frac{4 a + 3}{2 a - 1}$ 化为整式与真分式的和的形式： $\frac{4 a + 3}{2 a - 1} =$ ；若假分式 $\frac{4 a + 3}{2 a - 1}$ 的值为正整数，则整数 $a$ 的值为；

(3)、请你写出假分式 $\frac{2 a^{2} + 6}{a - 1}$ 化成整式与真分式的和的形式的完整过程.

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28. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如 $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ， $\frac{2 x - 3}{x + 1} = \frac{2 x + 2 - 5}{x + 1} =$ $\frac{2 x + 2}{x + 1} + \frac{- 5}{x + 1} = 2 + \frac{- 5}{x + 1}$ ，则 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 和 $\frac{2 x - 3}{x + 1}$ 都是“和谐分式”.

(1)、下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）
① $\frac{x + 1}{x}$ ；② $\frac{2 + x}{2}$ ；③ $\frac{x + 2}{x + 1}$ ；④ $\frac{y^{2} + 1}{y^{2}}$

(2)、将“和谐分式” $\frac{a^{2} - 2 a + 3}{a - 1}$ 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： $\frac{a^{2} - 2 a + 3}{a - 1} =_________+ \frac{2}{a - 1}$

(3)、应用：先化简 $\frac{3 x + 6}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x}$ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数.

(4)、拓展：若 $\frac{2 x + 1}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ ，求A、B的值.

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29. 定义：若分式 $M$ 与分式 $N$ 的差等于它们的积，即 $M - N = M N$ ，则称分式 $N$ 是分式 $M$ 的“关联分式”.如 $\frac{1}{x + 1}$ 与 $\frac{1}{x + 2}$ ，因为 $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ， $\frac{1}{x + 1} \times \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ，所以 $\frac{1}{x + 2}$ 是 $\frac{1}{x + 1}$ 的“关联分式”.

(1)、已知分式 $\frac{2}{a^{2} - 1}$ ，则 $\frac{2}{a^{2} + 1}$ $\frac{2}{a^{2} - 1}$ 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；

(2)、小明在求分式 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”时，用了以下方法：
设 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”为 $N$ ，则 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \times N$ ，
∴ $(\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + 1) N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ，
∴ $N = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ .
请你仿照小明的方法求分式 $\frac{a - b}{2 a + 3 b}$ 的“关联分式”.

(3)、①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 $\frac{y}{x}$ 的“关联分式”： ▲ ；
②用发现的规律解决问题：
若 $\frac{4 n - 2}{m x + m}$ 是 $\frac{4 m + 2}{m x + n}$ 的“关联分式”，求实数 $m$ ， $n$ 的值.

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