浙江省浙大附中玉泉校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， 0 ， 1}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 2 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 2 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{4})$ 的一条对称轴可以为（）

A、 $x = - \frac{π}{8}$ B、 $x = - \frac{π}{4}$ C、 $x = \frac{π}{8}$ D、 $x = \frac{π}{4}$

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3. 在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（）

A、45° B、135° C、90° D、45°或135°

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4. 四边形ABCD为矩形，对角线长为4，若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b} ， \vec{B D} = \vec{c} ，$ 则 $| \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} | =$ （）

A、0 B、6 C、8 D、10

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5. 已知i为虚数单位，下列与i相等的是（）

A、 $\frac{1}{i}$ B、 $(1 - i) (1 + i)$ C、 $\frac{1 + i}{1 - i}$ D、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} + ⋯ + i^{2003}$

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6. 平行四边形ABCD，点E满足 $\vec{A C} = 4 \vec{A E}$ ， $\vec{D E} = \frac{λ}{2} \vec{A B} + 2 μ \vec{A D} (λ ， μ \in R)$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2 | x | - 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图所示，为测量山高 $M N ，$ 选择A和另一座山的山顶 $C$ 为测量观测点，从A点测得 $M$ 点的仰角 $∠ M A N = 60 ° ， C$ 点的仰角 $∠ C A B = 30 °$ 以及 $∠ M A C = 75 ° ，$ 从 $C$ 点测得 $∠ M C A = 60 °$ ，若山高 $B C = 100 \sqrt{2}$ 米，则山高 $M N$ 等于（）

A、300米 B、360米 C、240米 D、320米

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二、多选题

9. 已知O是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列结论正确的是（）

A、若 $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则O是 $△ A B C$ 的外心 C、若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、若 $\vec{O A} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{O B} \cdot \vec{A C} = 0$ ，则 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} = 0$

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10. 下列说法正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $s i n A < s i n B$ 是 $B C < A C$ 的充要条件 B、将函数 $y = s i n 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象 C、复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，则 $z_{1} - z_{2} \geq 0$ 是 $z_{1} \geq z_{2}$ 的充要条件 D、在 $△ A B C$ 中，若 $s i n^{2} A + s i n^{2} B < s i n^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形

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11. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C对边分别是a，b，c， $A = \frac{π}{3}$ ， $b = 8$ ， $a = 2 \sqrt{13}$ ．则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、 $△ A B C$ 面积为 $4 \sqrt{3}$ 或 $12 \sqrt{3}$ C、AB长度为6 D、 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $\frac{52 π}{3}$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $y = f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = - x^{2}$ ，下列结论正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的周期是4 B、直线 $x = 2023$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 C、 $f (x)$ 在 $[2022 ， 2023]$ 上单调递减 D、 $f (2022) + f (2023) = 1$

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三、填空题

13. 函数 $y = s i n (2 ω x + \frac{π}{6})$ ， $(ω > 0)$ 的周期是 $π$ ，则 $ω =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ，且 $| \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是．

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15. 函数 $f (x) = a \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1} + b s i n x + 1$ ，（a，b为常实数），若 $f (- 2023) = - 1$ ，则 $f (2023) =$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，已知角 $A = \frac{2 π}{3}$ ，角 $A$ 的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， m + 1)$ ， $m \in R$ ．

(1)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 能构成一组基底，求实数m的范围；

(2)、若 $\vec{c} = (1 ， 3)$ ，且 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大小．

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18. 设复数 $z = m^{2} - 2 m - 3 + (m^{2} + 3 m + 2) i$ ， m为实数

(1)、当m为何值时，z是纯虚数；

(2)、若复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．

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19. 已知 $\frac{π}{3}$ 是函数 $f (x) = 2 a s i n x c o s x - 2 c o s^{2} x - 1$ 的一个零点．

(1)、求实数a的值；

(2)、求 $f (x)$ 单调递减区间

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $\frac{2 c - b}{a} = \frac{c o s B}{c o s A}$

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．

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21. 锐角 $△ A B C$ 的三个内角是 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，满足 $(s i n^{2} B + s i n^{2} C - s i n^{2} A) t a n A = s i n B s i n C$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小及角 $B$ 的取值范围；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且 $\vec{O B} \cdot \vec{O C} = \frac{1}{2}$ ，求 $\vec{A O} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减，在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增．记函数 $g (x) = f (l n x)$ ．

(1)、写出函数 $y = g (x)$ 的单调区间（无需说明理由）及其最小值；

(2)、若直线 $y = b$ 与函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象共有三个不同的交点，从左到右依次记为 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ ，试证明： $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ ．

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